Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12466 / 12589
↖ ↑ ↗
← S 69.013546°
E 93.911133°		 ← 875.05 m → S 69.013546°
E 93.933106°		 →
↑
874.87 m
↓
↑
874.87 m
↓
S 69.021414°
E 93.911133°		 ← 874.74 m →
765 417 m²		 S 69.021414°
E 93.933106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760894775390625 y=0.768402099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760894775390625 × 214)
    floor (0.760894775390625 × 16384)
    floor (12466.5)     		tx = 12466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768402099609375 × 214)
    floor (0.768402099609375 × 16384)
    floor (12589.5)     		ty = 12589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12466 / 12589 ti = "14/12466/12589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12466/12589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12466 ÷ 214
    12466 ÷ 16384     		x = 0.7608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12589 ÷ 214
    12589 ÷ 16384     		y = 0.76837158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63905847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76837158203125 × 2 - 1) × π
    -0.5367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6862283810351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63905847} λ = 1.63905847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6862283810351))-π/2
    2×atan(0.185216775385825)-π/2
    2×0.183141359869918-π/2
    0.366282719739836-1.57079632675     		φ = -1.20451361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63905847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20451361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.013546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12466 KachelY 12589 1.63905847 -1.20451361 93.911133 -69.013546
    Oben rechts KachelX + 1 12467 KachelY 12589 1.63944197 -1.20451361 93.933106 -69.013546
    Unten links KachelX 12466 KachelY + 1 12590 1.63905847 -1.20465093 93.911133 -69.021414
    Unten rechts KachelX + 1 12467 KachelY + 1 12590 1.63944197 -1.20465093 93.933106 -69.021414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20451361--1.20465093) × R
    0.000137319999999885 × 6371000     		dl = 874.865719999269m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20451361--1.20465093) × R
    0.000137319999999885 × 6371000     		dr = 874.865719999269m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63905847-1.63944197) × cos(-1.20451361) × R
    0.000383500000000092 × 0.358147216729857 × 6371000     		do = 875.053394471109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63905847-1.63944197) × cos(-1.20465093) × R
    0.000383500000000092 × 0.358019002458138 × 6371000     		du = 874.740131297625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20451361)-sin(-1.20465093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358147216729857-0.358019002458138)×R²
    abs(1.63944197-1.63905847)×0.000128214271719052×R²
    0.000383500000000092×0.000128214271719052×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128214271719052×40589641000000     		ar = 765417.187587657m²