Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12465 / 12590
↖ ↑ ↗
← S 69.021414°
E 93.889160°		 ← 874.72 m → S 69.021414°
E 93.911133°		 →
↑
874.55 m
↓
↑
874.55 m
↓
S 69.029279°
E 93.889160°		 ← 874.40 m →
764 845 m²		 S 69.029279°
E 93.911133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760833740234375 y=0.768463134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760833740234375 × 214)
    floor (0.760833740234375 × 16384)
    floor (12465.5)     		tx = 12465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768463134765625 × 214)
    floor (0.768463134765625 × 16384)
    floor (12590.5)     		ty = 12590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12465 / 12590 ti = "14/12465/12590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12465/12590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12465 ÷ 214
    12465 ÷ 16384     		x = 0.76080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12590 ÷ 214
    12590 ÷ 16384     		y = 0.7684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76080322265625 × 2 - 1) × π
    0.5216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63867498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68661187623206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63867498} λ = 1.63867498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68661187623206))-π/2
    2×atan(0.18514575926011)-π/2
    2×0.183072698293977-π/2
    0.366145396587955-1.57079632675     		φ = -1.20465093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63867498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20465093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.021414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12465 KachelY 12590 1.63867498 -1.20465093 93.889160 -69.021414
    Oben rechts KachelX + 1 12466 KachelY 12590 1.63905847 -1.20465093 93.911133 -69.021414
    Unten links KachelX 12465 KachelY + 1 12591 1.63867498 -1.20478820 93.889160 -69.029279
    Unten rechts KachelX + 1 12466 KachelY + 1 12591 1.63905847 -1.20478820 93.911133 -69.029279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20465093--1.20478820) × R
    0.000137270000000189 × 6371000     		dl = 874.547170001205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20465093--1.20478820) × R
    0.000137270000000189 × 6371000     		dr = 874.547170001205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63867498-1.63905847) × cos(-1.20465093) × R
    0.000383489999999931 × 0.358019002458138 × 6371000     		do = 874.71732190661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63867498-1.63905847) × cos(-1.20478820) × R
    0.000383489999999931 × 0.357890828123504 × 6371000     		du = 874.404164476536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20465093)-sin(-1.20478820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358019002458138-0.357890828123504)×R²
    abs(1.63905847-1.63867498)×0.000128174334633413×R²
    0.000383489999999931×0.000128174334633413×6371000²
    0.000383489999999931×0.000128174334633413×40589641000000     		ar = 764844.624153833m²