Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12464 / 21104
↖ ↑ ↗
← S 45.951150°
W 43.066406°		 ← 849.37 m → S 45.951150°
W 43.055420°		 →
↑
849.25 m
↓
↑
849.25 m
↓
S 45.958787°
W 43.066406°		 ← 849.25 m →
721 282 m²		 S 45.958787°
W 43.055420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380386352539062 y=0.644058227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380386352539062 × 215)
    floor (0.380386352539062 × 32768)
    floor (12464.5)     		tx = 12464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644058227539062 × 215)
    floor (0.644058227539062 × 32768)
    floor (21104.5)     		ty = 21104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12464 / 21104 ti = "15/12464/21104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12464/21104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12464 ÷ 215
    12464 ÷ 32768     		x = 0.38037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21104 ÷ 215
    21104 ÷ 32768     		y = 0.64404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75165059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    -0.2880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.90504866482666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75165059} λ = -0.75165059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.90504866482666))-π/2
    2×atan(0.404522198621327)-π/2
    2×0.384398734851678-π/2
    0.768797469703356-1.57079632675     		φ = -0.80199886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75165059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.066406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80199886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.951150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12464 KachelY 21104 -0.75165059 -0.80199886 -43.066406 -45.951150
    Oben rechts KachelX + 1 12465 KachelY 21104 -0.75145884 -0.80199886 -43.055420 -45.951150
    Unten links KachelX 12464 KachelY + 1 21105 -0.75165059 -0.80213216 -43.066406 -45.958787
    Unten rechts KachelX + 1 12465 KachelY + 1 21105 -0.75145884 -0.80213216 -43.055420 -45.958787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80199886--0.80213216) × R
    0.000133300000000003 × 6371000     		dl = 849.254300000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80199886--0.80213216) × R
    0.000133300000000003 × 6371000     		dr = 849.254300000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75165059--0.75145884) × cos(-0.80199886) × R
    0.000191750000000046 × 0.695271424081233 × 6371000     		do = 849.370861061234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75165059--0.75145884) × cos(-0.80213216) × R
    0.000191750000000046 × 0.695175608892516 × 6371000     		du = 849.253809465951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80199886)-sin(-0.80213216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695271424081233-0.695175608892516)×R²
    abs(-0.75145884--0.75165059)×9.58151887169301e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58151887169301e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58151887169301e-05×40589641000000     		ar = 721282.153833771m²