Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12464 / 12600
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E 93.867187°		 ← 871.61 m → S 69.099940°
E 93.889160°		 →
↑
871.43 m
↓
↑
871.43 m
↓
S 69.107777°
E 93.867187°		 ← 871.30 m →
759 409 m²		 S 69.107777°
E 93.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760772705078125 y=0.769073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760772705078125 × 214)
    floor (0.760772705078125 × 16384)
    floor (12464.5)     		tx = 12464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769073486328125 × 214)
    floor (0.769073486328125 × 16384)
    floor (12600.5)     		ty = 12600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12464 / 12600 ti = "14/12464/12600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12464/12600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12464 ÷ 214
    12464 ÷ 16384     		x = 0.7607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12600 ÷ 214
    12600 ÷ 16384     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63829148} λ = 1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12464 KachelY 12600 1.63829148 -1.20602146 93.867187 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 12465 KachelY 12600 1.63867498 -1.20602146 93.889160 -69.099940
    Unten links KachelX 12464 KachelY + 1 12601 1.63829148 -1.20615824 93.867187 -69.107777
    Unten rechts KachelX + 1 12465 KachelY + 1 12601 1.63867498 -1.20615824 93.889160 -69.107777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20615824) × R
    0.000136779999999836 × 6371000     		dl = 871.425379998958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20615824) × R
    0.000136779999999836 × 6371000     		dr = 871.425379998958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63829148-1.63867498) × cos(-1.20602146) × R
    0.000383500000000092 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 871.612687658087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63829148-1.63867498) × cos(-1.20615824) × R
    0.000383500000000092 × 0.356611199383108 × 6371000     		du = 871.30047631217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20615824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356611199383108)×R²
    abs(1.63867498-1.63829148)×0.000127783773285484×R²
    0.000383500000000092×0.000127783773285484×6371000²
    0.000383500000000092×0.000127783773285484×40589641000000     		ar = 759409.384293091m²