Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12464 / 12591
↖ ↑ ↗
← S 69.029279°
E 93.867187°		 ← 874.43 m → S 69.029279°
E 93.889160°		 →
↑
874.29 m
↓
↑
874.29 m
↓
S 69.037142°
E 93.867187°		 ← 874.11 m →
764 368 m²		 S 69.037142°
E 93.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760772705078125 y=0.768524169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760772705078125 × 214)
    floor (0.760772705078125 × 16384)
    floor (12464.5)     		tx = 12464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768524169921875 × 214)
    floor (0.768524169921875 × 16384)
    floor (12591.5)     		ty = 12591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12464 / 12591 ti = "14/12464/12591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12464/12591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12464 ÷ 214
    12464 ÷ 16384     		x = 0.7607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12591 ÷ 214
    12591 ÷ 16384     		y = 0.76849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7607421875 × 2 - 1) × π
    0.521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63829148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63829148} λ = 1.63829148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68699537142902))-π/2
    2×atan(0.185074770363517)-π/2
    2×0.183004061299626-π/2
    0.366008122599252-1.57079632675     		φ = -1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63829148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.867187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12464 KachelY 12591 1.63829148 -1.20478820 93.867187 -69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 12465 KachelY 12591 1.63867498 -1.20478820 93.889160 -69.029279
    Unten links KachelX 12464 KachelY + 1 12592 1.63829148 -1.20492543 93.867187 -69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 12465 KachelY + 1 12592 1.63867498 -1.20492543 93.889160 -69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20478820--1.20492543) × R
    0.000137229999999988 × 6371000     		dl = 874.292329999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20478820--1.20492543) × R
    0.000137229999999988 × 6371000     		dr = 874.292329999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63829148-1.63867498) × cos(-1.20478820) × R
    0.000383500000000092 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 874.426965701563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63829148-1.63867498) × cos(-1.20492543) × R
    0.000383500000000092 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 874.113874891193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20478820)-sin(-1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357762684397617)×R²
    abs(1.63867498-1.63829148)×0.000128143725887153×R²
    0.000383500000000092×0.000128143725887153×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128143725887153×40589641000000     		ar = 764367.924009334m²