Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124631 / 27002
↖ ↑ ↗
← N 72.078983°
E162.309265°		 ← 93.98 m → N 72.078983°
E162.312012°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.078138°
E162.309265°		 ← 93.99 m →
8 838 m²		 N 72.078138°
E162.312012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950862884521484 y=0.206012725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950862884521484 × 217)
    floor (0.950862884521484 × 131072)
    floor (124631.5)     		tx = 124631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206012725830078 × 217)
    floor (0.206012725830078 × 131072)
    floor (27002.5)     		ty = 27002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124631 / 27002 ti = "17/124631/27002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124631/27002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124631 ÷ 217
    124631 ÷ 131072     		x = 0.950859069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27002 ÷ 217
    27002 ÷ 131072     		y = 0.206008911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950859069824219 × 2 - 1) × π
    0.901718139648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.83283108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206008911132812 × 2 - 1) × π
    0.587982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84720048995924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83283108} λ = 2.83283108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84720048995924))-π/2
    2×atan(6.34204004251928)-π/2
    2×1.41440595094048-π/2
    2.82881190188097-1.57079632675     		φ = 1.25801558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83283108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.309265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25801558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.078983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124631 KachelY 27002 2.83283108 1.25801558 162.309265 72.078983
    Oben rechts KachelX + 1 124632 KachelY 27002 2.83287902 1.25801558 162.312012 72.078983
    Unten links KachelX 124631 KachelY + 1 27003 2.83283108 1.25800082 162.309265 72.078138
    Unten rechts KachelX + 1 124632 KachelY + 1 27003 2.83287902 1.25800082 162.312012 72.078138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25801558-1.25800082) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25801558-1.25800082) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83283108-2.83287902) × cos(1.25801558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307705652112451 × 6371000     		do = 93.9812264985662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83283108-2.83287902) × cos(1.25800082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307719695947321 × 6371000     		du = 93.985515847224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25801558)-sin(1.25800082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307705652112451-0.307719695947321)×R²
    abs(2.83287902-2.83283108)×1.40438348704697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40438348704697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40438348704697e-05×40589641000000     		ar = 8837.8165325867m²