Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12463 / 21101
↖ ↑ ↗
← S 45.928229°
W 43.077392°		 ← 849.68 m → S 45.928229°
W 43.066406°		 →
↑
849.70 m
↓
↑
849.70 m
↓
S 45.935871°
W 43.077392°		 ← 849.56 m →
721 922 m²		 S 45.935871°
W 43.066406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380355834960938 y=0.643966674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380355834960938 × 215)
    floor (0.380355834960938 × 32768)
    floor (12463.5)     		tx = 12463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643966674804688 × 215)
    floor (0.643966674804688 × 32768)
    floor (21101.5)     		ty = 21101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12463 / 21101 ti = "15/12463/21101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12463/21101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12463 ÷ 215
    12463 ÷ 32768     		x = 0.380340576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21101 ÷ 215
    21101 ÷ 32768     		y = 0.643951416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.23931884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75184233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643951416015625 × 2 - 1) × π
    -0.28790283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.904473422031219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75184233} λ = -0.75184233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904473422031219))-π/2
    2×atan(0.404754964043577)-π/2
    2×0.384598751131671-π/2
    0.769197502263342-1.57079632675     		φ = -0.80159882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75184233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.077392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80159882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.928229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12463 KachelY 21101 -0.75184233 -0.80159882 -43.077392 -45.928229
    Oben rechts KachelX + 1 12464 KachelY 21101 -0.75165059 -0.80159882 -43.066406 -45.928229
    Unten links KachelX 12463 KachelY + 1 21102 -0.75184233 -0.80173219 -43.077392 -45.935871
    Unten rechts KachelX + 1 12464 KachelY + 1 21102 -0.75165059 -0.80173219 -43.066406 -45.935871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80159882--0.80173219) × R
    0.000133369999999911 × 6371000     		dl = 849.70026999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80159882--0.80173219) × R
    0.000133369999999911 × 6371000     		dr = 849.70026999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75184233--0.75165059) × cos(-0.80159882) × R
    0.000191739999999996 × 0.695558896101045 × 6371000     		do = 849.677734106419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75184233--0.75165059) × cos(-0.80173219) × R
    0.000191739999999996 × 0.695463067693691 × 6371000     		du = 849.560672467959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80159882)-sin(-0.80173219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695558896101045-0.695463067693691)×R²
    abs(-0.75165059--0.75184233)×9.58284073535598e-05×R²
    0.000191739999999996×9.58284073535598e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.58284073535598e-05×40589641000000     		ar = 721921.667500054m²