Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124625 / 27025
↖ ↑ ↗
← N 72.059535°
E162.292786°		 ← 94.08 m → N 72.059535°
E162.295532°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.058689°
E162.292786°		 ← 94.08 m →
8 853 m²		 N 72.058689°
E162.295532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950817108154297 y=0.206188201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950817108154297 × 217)
    floor (0.950817108154297 × 131072)
    floor (124625.5)     		tx = 124625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206188201904297 × 217)
    floor (0.206188201904297 × 131072)
    floor (27025.5)     		ty = 27025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124625 / 27025 ti = "17/124625/27025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124625/27025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124625 ÷ 217
    124625 ÷ 131072     		x = 0.950813293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27025 ÷ 217
    27025 ÷ 131072     		y = 0.206184387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950813293457031 × 2 - 1) × π
    0.901626586914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.83254346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206184387207031 × 2 - 1) × π
    0.587631225585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.84609794126798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83254346} λ = 2.83254346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84609794126798))-π/2
    2×atan(6.3350514878893)-π/2
    2×1.41423623170232-π/2
    2.82847246340465-1.57079632675     		φ = 1.25767614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83254346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.292786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25767614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.059535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124625 KachelY 27025 2.83254346 1.25767614 162.292786 72.059535
    Oben rechts KachelX + 1 124626 KachelY 27025 2.83259140 1.25767614 162.295532 72.059535
    Unten links KachelX 124625 KachelY + 1 27026 2.83254346 1.25766137 162.292786 72.058689
    Unten rechts KachelX + 1 124626 KachelY + 1 27026 2.83259140 1.25766137 162.295532 72.058689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25767614-1.25766137) × R
    1.47700000001638e-05 × 6371000     		dl = 94.0996700010437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25767614-1.25766137) × R
    1.47700000001638e-05 × 6371000     		dr = 94.0996700010437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83254346-2.83259140) × cos(1.25767614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308028605293084 × 6371000     		do = 94.0798647127464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83254346-2.83259140) × cos(1.25766137) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308042657099189 × 6371000     		du = 94.0841564960245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25767614)-sin(1.25766137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308028605293084-0.308042657099189)×R²
    abs(2.83259140-2.83254346)×1.4051806105253e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4051806105253e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4051806105253e-05×40589641000000     		ar = 8853.08615094491m²