Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12462 / 21106
↖ ↑ ↗
← S 45.966424°
W 43.088379°		 ← 849.14 m → S 45.966424°
W 43.077392°		 →
↑
849.06 m
↓
↑
849.06 m
↓
S 45.974060°
W 43.088379°		 ← 849.02 m →
720 921 m²		 S 45.974060°
W 43.077392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380325317382812 y=0.644119262695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380325317382812 × 215)
    floor (0.380325317382812 × 32768)
    floor (12462.5)     		tx = 12462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644119262695312 × 215)
    floor (0.644119262695312 × 32768)
    floor (21106.5)     		ty = 21106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12462 / 21106 ti = "15/12462/21106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12462/21106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12462 ÷ 215
    12462 ÷ 32768     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21106 ÷ 215
    21106 ÷ 32768     		y = 0.64410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64410400390625 × 2 - 1) × π
    -0.2882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.905432160023621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905432160023621))-π/2
    2×atan(0.40436709604354)-π/2
    2×0.384265436598748-π/2
    0.768530873197496-1.57079632675     		φ = -0.80226545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80226545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.966424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12462 KachelY 21106 -0.75203408 -0.80226545 -43.088379 -45.966424
    Oben rechts KachelX + 1 12463 KachelY 21106 -0.75184233 -0.80226545 -43.077392 -45.966424
    Unten links KachelX 12462 KachelY + 1 21107 -0.75203408 -0.80239872 -43.088379 -45.974060
    Unten rechts KachelX + 1 12463 KachelY + 1 21107 -0.75184233 -0.80239872 -43.077392 -45.974060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80226545--0.80239872) × R
    0.000133269999999963 × 6371000     		dl = 849.063169999765m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80226545--0.80239872) × R
    0.000133269999999963 × 6371000     		dr = 849.063169999765m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75184233) × cos(-0.80226545) × R
    0.000191750000000046 × 0.695079788540627 × 6371000     		do = 849.136751563134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75184233) × cos(-0.80239872) × R
    0.000191750000000046 × 0.694983970220298 × 6371000     		du = 849.019696142151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80226545)-sin(-0.80239872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695079788540627-0.694983970220298)×R²
    abs(-0.75184233--0.75203408)×9.58183203283447e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58183203283447e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58183203283447e-05×40589641000000     		ar = 720921.049389497m²