Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12462 / 21099
↖ ↑ ↗
← S 45.912944°
W 43.088379°		 ← 849.96 m → S 45.912944°
W 43.077392°		 →
↑
849.89 m
↓
↑
849.89 m
↓
S 45.920587°
W 43.088379°		 ← 849.84 m →
722 321 m²		 S 45.920587°
W 43.077392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380325317382812 y=0.643905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380325317382812 × 215)
    floor (0.380325317382812 × 32768)
    floor (12462.5)     		tx = 12462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643905639648438 × 215)
    floor (0.643905639648438 × 32768)
    floor (21099.5)     		ty = 21099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12462 / 21099 ti = "15/12462/21099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12462/21099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12462 ÷ 215
    12462 ÷ 32768     		x = 0.38031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21099 ÷ 215
    21099 ÷ 32768     		y = 0.643890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38031005859375 × 2 - 1) × π
    -0.2393798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75203408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643890380859375 × 2 - 1) × π
    -0.28778076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.904089926834259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75203408} λ = -0.75203408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.904089926834259))-π/2
    2×atan(0.404910215395405)-π/2
    2×0.384732141253003-π/2
    0.769464282506006-1.57079632675     		φ = -0.80133204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75203408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.088379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80133204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.912944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12462 KachelY 21099 -0.75203408 -0.80133204 -43.088379 -45.912944
    Oben rechts KachelX + 1 12463 KachelY 21099 -0.75184233 -0.80133204 -43.077392 -45.912944
    Unten links KachelX 12462 KachelY + 1 21100 -0.75203408 -0.80146544 -43.088379 -45.920587
    Unten rechts KachelX + 1 12463 KachelY + 1 21100 -0.75184233 -0.80146544 -43.077392 -45.920587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80133204--0.80146544) × R
    0.00013339999999995 × 6371000     		dl = 849.891399999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80133204--0.80146544) × R
    0.00013339999999995 × 6371000     		dr = 849.891399999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75203408--0.75184233) × cos(-0.80133204) × R
    0.000191750000000046 × 0.695750544528508 × 6371000     		do = 849.956173405102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75203408--0.75184233) × cos(-0.80146544) × R
    0.000191750000000046 × 0.695654719319868 × 6371000     		du = 849.839109569088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80133204)-sin(-0.80146544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695750544528508-0.695654719319868)×R²
    abs(-0.75184233--0.75203408)×9.58252086397104e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58252086397104e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58252086397104e-05×40589641000000     		ar = 722320.697451608m²