Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124619 / 27032
↖ ↑ ↗
← N 72.053612°
E162.276306°		 ← 94.11 m → N 72.053612°
E162.279053°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.052765°
E162.276306°		 ← 94.11 m →
8 856 m²		 N 72.052765°
E162.279053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950771331787109 y=0.206241607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950771331787109 × 217)
    floor (0.950771331787109 × 131072)
    floor (124619.5)     		tx = 124619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206241607666016 × 217)
    floor (0.206241607666016 × 131072)
    floor (27032.5)     		ty = 27032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124619 / 27032 ti = "17/124619/27032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124619/27032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124619 ÷ 217
    124619 ÷ 131072     		x = 0.950767517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27032 ÷ 217
    27032 ÷ 131072     		y = 0.20623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950767517089844 × 2 - 1) × π
    0.901535034179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.83225584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20623779296875 × 2 - 1) × π
    0.5875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84576238297064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83225584} λ = 2.83225584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84576238297064))-π/2
    2×atan(6.33292606541998)-π/2
    2×1.41418454267448-π/2
    2.82836908534897-1.57079632675     		φ = 1.25757276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83225584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.276306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25757276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.053612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124619 KachelY 27032 2.83225584 1.25757276 162.276306 72.053612
    Oben rechts KachelX + 1 124620 KachelY 27032 2.83230378 1.25757276 162.279053 72.053612
    Unten links KachelX 124619 KachelY + 1 27033 2.83225584 1.25755799 162.276306 72.052765
    Unten rechts KachelX + 1 124620 KachelY + 1 27033 2.83230378 1.25755799 162.279053 72.052765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25757276-1.25755799) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25757276-1.25755799) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83225584-2.83230378) × cos(1.25757276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308126957011052 × 6371000     		do = 94.1099038589869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83225584-2.83230378) × cos(1.25755799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308141008346735 × 6371000     		du = 94.114195498586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25757276)-sin(1.25755799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308126957011052-0.308141008346735)×R²
    abs(2.83230378-2.83225584)×1.40513356833849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40513356833849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40513356833849e-05×40589641000000     		ar = 8855.9128178013m²