Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124618 / 27035
↖ ↑ ↗
← N 72.051072°
E162.273559°		 ← 94.12 m → N 72.051072°
E162.276306°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.050226°
E162.273559°		 ← 94.13 m →
8 857 m²		 N 72.050226°
E162.276306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950763702392578 y=0.206264495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950763702392578 × 217)
    floor (0.950763702392578 × 131072)
    floor (124618.5)     		tx = 124618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206264495849609 × 217)
    floor (0.206264495849609 × 131072)
    floor (27035.5)     		ty = 27035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124618 / 27035 ti = "17/124618/27035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124618/27035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124618 ÷ 217
    124618 ÷ 131072     		x = 0.950759887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27035 ÷ 217
    27035 ÷ 131072     		y = 0.206260681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950759887695312 × 2 - 1) × π
    0.901519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.83220790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206260681152344 × 2 - 1) × π
    0.587478637695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.84561857227178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83220790} λ = 2.83220790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84561857227178))-π/2
    2×atan(6.3320153883808)-π/2
    2×1.41416238518219-π/2
    2.82832477036438-1.57079632675     		φ = 1.25752844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83220790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.273559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25752844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.051072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124618 KachelY 27035 2.83220790 1.25752844 162.273559 72.051072
    Oben rechts KachelX + 1 124619 KachelY 27035 2.83225584 1.25752844 162.276306 72.051072
    Unten links KachelX 124618 KachelY + 1 27036 2.83220790 1.25751367 162.273559 72.050226
    Unten rechts KachelX + 1 124619 KachelY + 1 27036 2.83225584 1.25751367 162.276306 72.050226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25752844-1.25751367) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25752844-1.25751367) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83220790-2.83225584) × cos(1.25752844) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.308169120329749 × 6371000     		do = 94.1227816226729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83220790-2.83225584) × cos(1.25751367) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.308183171463712 × 6371000     		du = 94.1270732006614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25752844)-sin(1.25751367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308169120329749-0.308183171463712)×R²
    abs(2.83225584-2.83220790)×1.40511339630778e-05×R²
    4.79400000004127e-05×1.40511339630778e-05×6371000²
    4.79400000004127e-05×1.40511339630778e-05×40589641000000     		ar = 8857.12460845589m²