Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124614 / 27003
↖ ↑ ↗
← N 72.078138°
E162.262573°		 ← 93.97 m → N 72.078138°
E162.265320°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.077292°
E162.262573°		 ← 93.97 m →
8 830 m²		 N 72.077292°
E162.265320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950733184814453 y=0.206020355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950733184814453 × 217)
    floor (0.950733184814453 × 131072)
    floor (124614.5)     		tx = 124614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206020355224609 × 217)
    floor (0.206020355224609 × 131072)
    floor (27003.5)     		ty = 27003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124614 / 27003 ti = "17/124614/27003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124614/27003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124614 ÷ 217
    124614 ÷ 131072     		x = 0.950729370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27003 ÷ 217
    27003 ÷ 131072     		y = 0.206016540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950729370117188 × 2 - 1) × π
    0.901458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.83201616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206016540527344 × 2 - 1) × π
    0.587966918945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.84715255305962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83201616} λ = 2.83201616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84715255305962))-π/2
    2×atan(6.34173603206909)-π/2
    2×1.41439857554469-π/2
    2.82879715108939-1.57079632675     		φ = 1.25800082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83201616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.262573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25800082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.078138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124614 KachelY 27003 2.83201616 1.25800082 162.262573 72.078138
    Oben rechts KachelX + 1 124615 KachelY 27003 2.83206409 1.25800082 162.265320 72.078138
    Unten links KachelX 124614 KachelY + 1 27004 2.83201616 1.25798607 162.262573 72.077292
    Unten rechts KachelX + 1 124615 KachelY + 1 27004 2.83206409 1.25798607 162.265320 72.077292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25800082-1.25798607) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dl = 93.9722499989888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25800082-1.25798607) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dr = 93.9722499989888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83201616-2.83206409) × cos(1.25800082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307719695947321 × 6371000     		do = 93.9659110255143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83201616-2.83206409) × cos(1.25798607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307733730200427 × 6371000     		du = 93.9701965535323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25800082)-sin(1.25798607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307719695947321-0.307733730200427)×R²
    abs(2.83206409-2.83201616)×1.40342531060877e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40342531060877e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40342531060877e-05×40589641000000     		ar = 8830.38944277054m²