Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124612 / 27007
↖ ↑ ↗
← N 72.074757°
E162.257080°		 ← 94 m → N 72.074757°
E162.259827°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
N 72.073911°
E162.257080°		 ← 94.01 m →
8 834 m²		 N 72.073911°
E162.259827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950717926025391 y=0.206050872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950717926025391 × 217)
    floor (0.950717926025391 × 131072)
    floor (124612.5)     		tx = 124612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206050872802734 × 217)
    floor (0.206050872802734 × 131072)
    floor (27007.5)     		ty = 27007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124612 / 27007 ti = "17/124612/27007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124612/27007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124612 ÷ 217
    124612 ÷ 131072     		x = 0.950714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27007 ÷ 217
    27007 ÷ 131072     		y = 0.206047058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950714111328125 × 2 - 1) × π
    0.90142822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.83192028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206047058105469 × 2 - 1) × π
    0.587905883789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84696080546114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.83192028} λ = 2.83192028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84696080546114))-π/2
    2×atan(6.34052013599105)-π/2
    2×1.41436907059734-π/2
    2.82873814119468-1.57079632675     		φ = 1.25794181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.83192028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.257080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25794181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.074757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124612 KachelY 27007 2.83192028 1.25794181 162.257080 72.074757
    Oben rechts KachelX + 1 124613 KachelY 27007 2.83196822 1.25794181 162.259827 72.074757
    Unten links KachelX 124612 KachelY + 1 27008 2.83192028 1.25792706 162.257080 72.073911
    Unten rechts KachelX + 1 124613 KachelY + 1 27008 2.83196822 1.25792706 162.259827 72.073911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25794181-1.25792706) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dl = 93.9722499989888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25794181-1.25792706) × R
    1.47499999998413e-05 × 6371000     		dr = 93.9722499989888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.83192028-2.83196822) × cos(1.25794181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307775842072615 × 6371000     		do = 94.00266431909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.83192028-2.83196822) × cos(1.25792706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307789876057852 × 6371000     		du = 94.0069506594162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25794181)-sin(1.25792706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307775842072615-0.307789876057852)×R²
    abs(2.83196822-2.83192028)×1.40339852371385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40339852371385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40339852371385e-05×40589641000000     		ar = 8833.84327053492m²