Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12461 / 14581
↖ ↑ ↗
← N 19.425154°
W 43.099365°		 ← 1 152.10 m → N 19.425154°
W 43.088379°		 →
↑
1 152.13 m
↓
↑
1 152.13 m
↓
N 19.414792°
W 43.099365°		 ← 1 152.17 m →
1 327 413 m²		 N 19.414792°
W 43.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380294799804688 y=0.444992065429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380294799804688 × 215)
    floor (0.380294799804688 × 32768)
    floor (12461.5)     		tx = 12461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444992065429688 × 215)
    floor (0.444992065429688 × 32768)
    floor (14581.5)     		ty = 14581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12461 / 14581 ti = "15/12461/14581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12461/14581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12461 ÷ 215
    12461 ÷ 32768     		x = 0.380279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14581 ÷ 215
    14581 ÷ 32768     		y = 0.444976806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.23944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75222583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444976806640625 × 2 - 1) × π
    0.11004638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345720920059845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75222583} λ = -0.75222583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345720920059845))-π/2
    2×atan(1.41300821853698)-π/2
    2×0.954914608443727-π/2
    1.90982921688745-1.57079632675     		φ = 0.33903289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75222583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33903289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.425154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12461 KachelY 14581 -0.75222583 0.33903289 -43.099365 19.425154
    Oben rechts KachelX + 1 12462 KachelY 14581 -0.75203408 0.33903289 -43.088379 19.425154
    Unten links KachelX 12461 KachelY + 1 14582 -0.75222583 0.33885205 -43.099365 19.414792
    Unten rechts KachelX + 1 12462 KachelY + 1 14582 -0.75203408 0.33885205 -43.088379 19.414792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33903289-0.33885205) × R
    0.00018083999999996 × 6371000     		dl = 1152.13163999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33903289-0.33885205) × R
    0.00018083999999996 × 6371000     		dr = 1152.13163999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75222583--0.75203408) × cos(0.33903289) × R
    0.000191749999999935 × 0.94307674329974 × 6371000     		do = 1152.09956537675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75222583--0.75203408) × cos(0.33885205) × R
    0.000191749999999935 × 0.943136870775797 × 6371000     		du = 1152.1730194615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33903289)-sin(0.33885205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94307674329974-0.943136870775797)×R²
    abs(-0.75203408--0.75222583)×6.01274760569925e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01274760569925e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01274760569925e-05×40589641000000     		ar = 1327412.67970564m²