Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12461 / 12741
↖ ↑ ↗
← S 70.177653°
E 93.801270°		 ← 828.51 m → S 70.177653°
E 93.823242°		 →
↑
828.36 m
↓
↑
828.36 m
↓
S 70.185103°
E 93.801270°		 ← 828.21 m →
686 175 m²		 S 70.185103°
E 93.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760589599609375 y=0.777679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760589599609375 × 214)
    floor (0.760589599609375 × 16384)
    floor (12461.5)     		tx = 12461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777679443359375 × 214)
    floor (0.777679443359375 × 16384)
    floor (12741.5)     		ty = 12741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12461 / 12741 ti = "14/12461/12741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12461/12741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12461 ÷ 214
    12461 ÷ 16384     		x = 0.76055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12741 ÷ 214
    12741 ÷ 16384     		y = 0.77764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76055908203125 × 2 - 1) × π
    0.5211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63714100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.5552978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74451965097308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63714100} λ = 1.63714100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74451965097308))-π/2
    2×atan(0.174728899668916)-π/2
    2×0.172982609758695-π/2
    0.34596521951739-1.57079632675     		φ = -1.22483111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63714100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.801270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22483111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.177653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12461 KachelY 12741 1.63714100 -1.22483111 93.801270 -70.177653
    Oben rechts KachelX + 1 12462 KachelY 12741 1.63752449 -1.22483111 93.823242 -70.177653
    Unten links KachelX 12461 KachelY + 1 12742 1.63714100 -1.22496113 93.801270 -70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 12462 KachelY + 1 12742 1.63752449 -1.22496113 93.823242 -70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22483111--1.22496113) × R
    0.000130020000000064 × 6371000     		dl = 828.357420000408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22483111--1.22496113) × R
    0.000130020000000064 × 6371000     		dr = 828.357420000408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63714100-1.63752449) × cos(-1.22483111) × R
    0.000383490000000153 × 0.339104861399521 × 6371000     		do = 828.50601273254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63714100-1.63752449) × cos(-1.22496113) × R
    0.000383490000000153 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 828.2071611512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22483111)-sin(-1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339104861399521-0.338982542403024)×R²
    abs(1.63752449-1.63714100)×0.000122318996497117×R²
    0.000383490000000153×0.000122318996497117×6371000²
    0.000383490000000153×0.000122318996497117×40589641000000     		ar = 686175.326166498m²