Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12460 / 28726
↖ ↑ ↗
← N 21.667638°
W111.555175°		 ← 567.63 m → N 21.667638°
W111.549683°		 →
↑
567.66 m
↓
↑
567.66 m
↓
N 21.662533°
W111.555175°		 ← 567.65 m →
322 224 m²		 N 21.662533°
W111.549683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190132141113281 y=0.438331604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190132141113281 × 216)
    floor (0.190132141113281 × 65536)
    floor (12460.5)     		tx = 12460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438331604003906 × 216)
    floor (0.438331604003906 × 65536)
    floor (28726.5)     		ty = 28726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12460 / 28726 ti = "16/12460/28726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12460/28726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12460 ÷ 216
    12460 ÷ 65536     		x = 0.19012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28726 ÷ 216
    28726 ÷ 65536     		y = 0.438323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.6197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.94700511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    0.12335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.387521896528534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94700511} λ = -1.94700511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.387521896528534))-π/2
    2×atan(1.47332521397341)-π/2
    2×0.974483980802589-π/2
    1.94896796160518-1.57079632675     		φ = 0.37817163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94700511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.555175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37817163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.667638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12460 KachelY 28726 -1.94700511 0.37817163 -111.555175 21.667638
    Oben rechts KachelX + 1 12461 KachelY 28726 -1.94690924 0.37817163 -111.549683 21.667638
    Unten links KachelX 12460 KachelY + 1 28727 -1.94700511 0.37808253 -111.555175 21.662533
    Unten rechts KachelX + 1 12461 KachelY + 1 28727 -1.94690924 0.37808253 -111.549683 21.662533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37817163-0.37808253) × R
    8.90999999999531e-05 × 6371000     		dl = 567.656099999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37817163-0.37808253) × R
    8.90999999999531e-05 × 6371000     		dr = 567.656099999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94700511--1.94690924) × cos(0.37817163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929341262824132 × 6371000     		do = 567.630277489323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94700511--1.94690924) × cos(0.37808253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.929374156807143 × 6371000     		du = 567.650368731853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37817163)-sin(0.37808253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929341262824132-0.929374156807143)×R²
    abs(-1.94690924--1.94700511)×3.28939830110953e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28939830110953e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28939830110953e-05×40589641000000     		ar = 322224.492232722m²