Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12460 / 21102
↖ ↑ ↗
← S 45.935871°
W 43.110352°		 ← 849.60 m → S 45.935871°
W 43.099365°		 →
↑
849.51 m
↓
↑
849.51 m
↓
S 45.943511°
W 43.110352°		 ← 849.49 m →
721 697 m²		 S 45.943511°
W 43.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380264282226562 y=0.643997192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380264282226562 × 215)
    floor (0.380264282226562 × 32768)
    floor (12460.5)     		tx = 12460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643997192382812 × 215)
    floor (0.643997192382812 × 32768)
    floor (21102.5)     		ty = 21102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12460 / 21102 ti = "15/12460/21102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12460/21102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12460 ÷ 215
    12460 ÷ 32768     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21102 ÷ 215
    21102 ÷ 32768     		y = 0.64398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.2879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.9046651696297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9046651696297))-π/2
    2×atan(0.404677360691615)-π/2
    2×0.384532069851486-π/2
    0.769064139702972-1.57079632675     		φ = -0.80173219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80173219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.935871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12460 KachelY 21102 -0.75241758 -0.80173219 -43.110352 -45.935871
    Oben rechts KachelX + 1 12461 KachelY 21102 -0.75222583 -0.80173219 -43.099365 -45.935871
    Unten links KachelX 12460 KachelY + 1 21103 -0.75241758 -0.80186553 -43.110352 -45.943511
    Unten rechts KachelX + 1 12461 KachelY + 1 21103 -0.75222583 -0.80186553 -43.099365 -45.943511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80173219--0.80186553) × R
    0.000133340000000093 × 6371000     		dl = 849.509140000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80173219--0.80186553) × R
    0.000133340000000093 × 6371000     		dr = 849.509140000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75222583) × cos(-0.80173219) × R
    0.000191750000000046 × 0.695463067693691 × 6371000     		do = 849.604980420224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75222583) × cos(-0.80186553) × R
    0.000191750000000046 × 0.695367248475386 × 6371000     		du = 849.487923902238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80173219)-sin(-0.80186553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.695463067693691-0.695367248475386)×R²
    abs(-0.75222583--0.75241758)×9.58192183050377e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58192183050377e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58192183050377e-05×40589641000000     		ar = 721697.477035076m²