Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12460 / 14556
↖ ↑ ↗
← N 19.683970°
W 43.110352°		 ← 1 150.25 m → N 19.683970°
W 43.099365°		 →
↑
1 150.28 m
↓
↑
1 150.28 m
↓
N 19.673625°
W 43.110352°		 ← 1 150.33 m →
1 323 160 m²		 N 19.673625°
W 43.099365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380264282226562 y=0.444229125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380264282226562 × 215)
    floor (0.380264282226562 × 32768)
    floor (12460.5)     		tx = 12460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444229125976562 × 215)
    floor (0.444229125976562 × 32768)
    floor (14556.5)     		ty = 14556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12460 / 14556 ti = "15/12460/14556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12460/14556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12460 ÷ 215
    12460 ÷ 32768     		x = 0.3802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14556 ÷ 215
    14556 ÷ 32768     		y = 0.4442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75241758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    0.111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.350514610021851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75241758} λ = -0.75241758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350514610021851))-π/2
    2×atan(1.41979800290888)-π/2
    2×0.957173208633141-π/2
    1.91434641726628-1.57079632675     		φ = 0.34355009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75241758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.110352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34355009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.683970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12460 KachelY 14556 -0.75241758 0.34355009 -43.110352 19.683970
    Oben rechts KachelX + 1 12461 KachelY 14556 -0.75222583 0.34355009 -43.099365 19.683970
    Unten links KachelX 12460 KachelY + 1 14557 -0.75241758 0.34336954 -43.110352 19.673625
    Unten rechts KachelX + 1 12461 KachelY + 1 14557 -0.75222583 0.34336954 -43.099365 19.673625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34355009-0.34336954) × R
    0.000180550000000002 × 6371000     		dl = 1150.28405000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34355009-0.34336954) × R
    0.000180550000000002 × 6371000     		dr = 1150.28405000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75241758--0.75222583) × cos(0.34355009) × R
    0.000191750000000046 × 0.941564817996425 × 6371000     		do = 1150.25253808381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75241758--0.75222583) × cos(0.34336954) × R
    0.000191750000000046 × 0.941625617639459 × 6371000     		du = 1150.32681331413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34355009)-sin(0.34336954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941564817996425-0.941625617639459)×R²
    abs(-0.75222583--0.75241758)×6.07996430339597e-05×R²
    0.000191750000000046×6.07996430339597e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.07996430339597e-05×40589641000000     		ar = 1323159.87043096m²