Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1246 / 606
↖ ↑ ↗
← N 77.504119°
W 70.488281°		 ← 2 114.58 m → N 77.504119°
W 70.400391°		 →
↑
2 116.13 m
↓
↑
2 116.13 m
↓
N 77.485088°
W 70.488281°		 ← 2 117.74 m →
4 478 065 m²		 N 77.485088°
W 70.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3043212890625 y=0.1480712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3043212890625 × 212)
    floor (0.3043212890625 × 4096)
    floor (1246.5)     		tx = 1246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1480712890625 × 212)
    floor (0.1480712890625 × 4096)
    floor (606.5)     		ty = 606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1246 / 606 ti = "12/1246/606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1246/606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1246 ÷ 212
    1246 ÷ 4096     		x = 0.30419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 606 ÷ 212
    606 ÷ 4096     		y = 0.14794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    -0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14794921875 × 2 - 1) × π
    0.7041015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.21200029606787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23025259} λ = -1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21200029606787))-π/2
    2×atan(9.13396877369383)-π/2
    2×1.46174919516288-π/2
    2.92349839032576-1.57079632675     		φ = 1.35270206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35270206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.504119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1246 KachelY 606 -1.23025259 1.35270206 -70.488281 77.504119
    Oben rechts KachelX + 1 1247 KachelY 606 -1.22871861 1.35270206 -70.400391 77.504119
    Unten links KachelX 1246 KachelY + 1 607 -1.23025259 1.35236991 -70.488281 77.485088
    Unten rechts KachelX + 1 1247 KachelY + 1 607 -1.22871861 1.35236991 -70.400391 77.485088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35270206-1.35236991) × R
    0.000332149999999976 × 6371000     		dl = 2116.12764999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35270206-1.35236991) × R
    0.000332149999999976 × 6371000     		dr = 2116.12764999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23025259--1.22871861) × cos(1.35270206) × R
    0.00153398000000005 × 0.216369427747516 × 6371000     		do = 2114.57551369882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23025259--1.22871861) × cos(1.35236991) × R
    0.00153398000000005 × 0.216693697692332 × 6371000     		du = 2117.7445995178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35270206)-sin(1.35236991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.216369427747516-0.216693697692332)×R²
    abs(-1.22871861--1.23025259)×0.000324269944815686×R²
    0.00153398000000005×0.000324269944815686×6371000²
    0.00153398000000005×0.000324269944815686×40589641000000     		ar = 4478064.84878153m²