Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12459 / 14557
↖ ↑ ↗
← N 19.673625°
W 43.121338°		 ← 1 150.27 m → N 19.673625°
W 43.110352°		 →
↑
1 150.35 m
↓
↑
1 150.35 m
↓
N 19.663280°
W 43.121338°		 ← 1 150.34 m →
1 323 250 m²		 N 19.663280°
W 43.110352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380233764648438 y=0.444259643554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380233764648438 × 215)
    floor (0.380233764648438 × 32768)
    floor (12459.5)     		tx = 12459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444259643554688 × 215)
    floor (0.444259643554688 × 32768)
    floor (14557.5)     		ty = 14557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12459 / 14557 ti = "15/12459/14557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12459/14557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12459 ÷ 215
    12459 ÷ 32768     		x = 0.380218505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14557 ÷ 215
    14557 ÷ 32768     		y = 0.444244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.23956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75260932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444244384765625 × 2 - 1) × π
    0.11151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35032286242337
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75260932} λ = -0.75260932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35032286242337))-π/2
    2×atan(1.41952578615079)-π/2
    2×0.957082934322086-π/2
    1.91416586864417-1.57079632675     		φ = 0.34336954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75260932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.121338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34336954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.673625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12459 KachelY 14557 -0.75260932 0.34336954 -43.121338 19.673625
    Oben rechts KachelX + 1 12460 KachelY 14557 -0.75241758 0.34336954 -43.110352 19.673625
    Unten links KachelX 12459 KachelY + 1 14558 -0.75260932 0.34318898 -43.121338 19.663280
    Unten rechts KachelX + 1 12460 KachelY + 1 14558 -0.75241758 0.34318898 -43.110352 19.663280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34336954-0.34318898) × R
    0.000180559999999996 × 6371000     		dl = 1150.34775999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34336954-0.34318898) × R
    0.000180559999999996 × 6371000     		dr = 1150.34775999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75260932--0.75241758) × cos(0.34336954) × R
    0.000191739999999996 × 0.941625617639459 × 6371000     		do = 1150.26682234573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75260932--0.75241758) × cos(0.34318898) × R
    0.000191739999999996 × 0.941686389952014 × 6371000     		du = 1150.34106031626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34336954)-sin(0.34318898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941625617639459-0.941686389952014)×R²
    abs(-0.75241758--0.75260932)×6.07723125556348e-05×R²
    0.000191739999999996×6.07723125556348e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.07723125556348e-05×40589641000000     		ar = 1323249.565824m²