Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12458 / 14595
↖ ↑ ↗
← N 19.280036°
W 43.132324°		 ← 1 153.12 m → N 19.280036°
W 43.121338°		 →
↑
1 153.09 m
↓
↑
1 153.09 m
↓
N 19.269666°
W 43.132324°		 ← 1 153.20 m →
1 329 696 m²		 N 19.269666°
W 43.121338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380203247070312 y=0.445419311523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380203247070312 × 215)
    floor (0.380203247070312 × 32768)
    floor (12458.5)     		tx = 12458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445419311523438 × 215)
    floor (0.445419311523438 × 32768)
    floor (14595.5)     		ty = 14595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12458 / 14595 ti = "15/12458/14595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12458/14595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12458 ÷ 215
    12458 ÷ 32768     		x = 0.38018798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14595 ÷ 215
    14595 ÷ 32768     		y = 0.445404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.2396240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75280107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445404052734375 × 2 - 1) × π
    0.10919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.343036453681122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75280107} λ = -0.75280107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343036453681122))-π/2
    2×atan(1.40922013225146)-π/2
    2×0.953648215666545-π/2
    1.90729643133309-1.57079632675     		φ = 0.33650010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75280107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.132324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33650010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.280036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12458 KachelY 14595 -0.75280107 0.33650010 -43.132324 19.280036
    Oben rechts KachelX + 1 12459 KachelY 14595 -0.75260932 0.33650010 -43.121338 19.280036
    Unten links KachelX 12458 KachelY + 1 14596 -0.75280107 0.33631911 -43.132324 19.269666
    Unten rechts KachelX + 1 12459 KachelY + 1 14596 -0.75260932 0.33631911 -43.121338 19.269666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33650010-0.33631911) × R
    0.000180990000000048 × 6371000     		dl = 1153.0872900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33650010-0.33631911) × R
    0.000180990000000048 × 6371000     		dr = 1153.0872900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75280107--0.75260932) × cos(0.33650010) × R
    0.000191749999999935 × 0.943916060582819 × 6371000     		do = 1153.12490831296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75280107--0.75260932) × cos(0.33631911) × R
    0.000191749999999935 × 0.943975805397719 × 6371000     		du = 1153.19789492382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33650010)-sin(0.33631911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943916060582819-0.943975805397719)×R²
    abs(-0.75260932--0.75280107)×5.9744814899565e-05×R²
    0.000191749999999935×5.9744814899565e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.9744814899565e-05×40589641000000     		ar = 1329695.75915495m²