Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12458 / 12187
↖ ↑ ↗
← S 65.612952°
E 93.735352°		 ← 1 008.83 m → S 65.612952°
E 93.757324°		 →
↑
1 008.66 m
↓
↑
1 008.66 m
↓
S 65.622023°
E 93.735352°		 ← 1 008.47 m →
1 017 382 m²		 S 65.622023°
E 93.757324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760406494140625 y=0.743865966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760406494140625 × 214)
    floor (0.760406494140625 × 16384)
    floor (12458.5)     		tx = 12458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743865966796875 × 214)
    floor (0.743865966796875 × 16384)
    floor (12187.5)     		ty = 12187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12458 / 12187 ti = "14/12458/12187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12458/12187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12458 ÷ 214
    12458 ÷ 16384     		x = 0.7603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12187 ÷ 214
    12187 ÷ 16384     		y = 0.74383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7603759765625 × 2 - 1) × π
    0.520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63599051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53206331185699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63599051} λ = 1.63599051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53206331185699))-π/2
    2×atan(0.21608934731319)-π/2
    2×0.212817143662397-π/2
    0.425634287324793-1.57079632675     		φ = -1.14516204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63599051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14516204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.612952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12458 KachelY 12187 1.63599051 -1.14516204 93.735352 -65.612952
    Oben rechts KachelX + 1 12459 KachelY 12187 1.63637401 -1.14516204 93.757324 -65.612952
    Unten links KachelX 12458 KachelY + 1 12188 1.63599051 -1.14532036 93.735352 -65.622023
    Unten rechts KachelX + 1 12459 KachelY + 1 12188 1.63637401 -1.14532036 93.757324 -65.622023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14516204--1.14532036) × R
    0.000158319999999934 × 6371000     		dl = 1008.65671999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14516204--1.14532036) × R
    0.000158319999999934 × 6371000     		dr = 1008.65671999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63599051-1.63637401) × cos(-1.14516204) × R
    0.00038349999999987 × 0.412898558600238 × 6371000     		do = 1008.82617090861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63599051-1.63637401) × cos(-1.14532036) × R
    0.00038349999999987 × 0.412754359208324 × 6371000     		du = 1008.47385163463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14516204)-sin(-1.14532036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412898558600238-0.412754359208324)×R²
    abs(1.63637401-1.63599051)×0.000144199391913735×R²
    0.00038349999999987×0.000144199391913735×6371000²
    0.00038349999999987×0.000144199391913735×40589641000000     		ar = 1017381.6141208m²