Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124570 / 27082
↖ ↑ ↗
← N 72.011248°
E162.141724°		 ← 94.32 m → N 72.011248°
E162.144470°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.010400°
E162.141724°		 ← 94.33 m →
8 894 m²		 N 72.010400°
E162.144470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950397491455078 y=0.206623077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950397491455078 × 217)
    floor (0.950397491455078 × 131072)
    floor (124570.5)     		tx = 124570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206623077392578 × 217)
    floor (0.206623077392578 × 131072)
    floor (27082.5)     		ty = 27082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124570 / 27082 ti = "17/124570/27082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124570/27082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124570 ÷ 217
    124570 ÷ 131072     		x = 0.950393676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27082 ÷ 217
    27082 ÷ 131072     		y = 0.206619262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950393676757812 × 2 - 1) × π
    0.900787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82990693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206619262695312 × 2 - 1) × π
    0.586761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84336553798964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82990693} λ = 2.82990693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84336553798964))-π/2
    2×atan(6.31776519974551)-π/2
    2×1.41381485510563-π/2
    2.82762971021125-1.57079632675     		φ = 1.25683338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82990693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.141724°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25683338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.011248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124570 KachelY 27082 2.82990693 1.25683338 162.141724 72.011248
    Oben rechts KachelX + 1 124571 KachelY 27082 2.82995487 1.25683338 162.144470 72.011248
    Unten links KachelX 124570 KachelY + 1 27083 2.82990693 1.25681858 162.141724 72.010400
    Unten rechts KachelX + 1 124571 KachelY + 1 27083 2.82995487 1.25681858 162.144470 72.010400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25683338-1.25681858) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25683338-1.25681858) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82990693-2.82995487) × cos(1.25683338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308830278371598 × 6371000     		do = 94.3247163059893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82990693-2.82995487) × cos(1.25681858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308844354871797 × 6371000     		du = 94.3290156314794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25683338)-sin(1.25681858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308830278371598-0.308844354871797)×R²
    abs(2.82995487-2.82990693)×1.4076500199689e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4076500199689e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4076500199689e-05×40589641000000     		ar = 8894.15565389101m²