Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 12456 / 28769
↖ ↑ ↗
← N 21.447956°
W111.577148°		 ← 568.49 m → N 21.447956°
W111.571655°		 →
↑
568.55 m
↓
↑
568.55 m
↓
N 21.442843°
W111.577148°		 ← 568.51 m →
323 220 m²		 N 21.442843°
W111.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190071105957031 y=0.438987731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190071105957031 × 216)
    floor (0.190071105957031 × 65536)
    floor (12456.5)     		tx = 12456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438987731933594 × 216)
    floor (0.438987731933594 × 65536)
    floor (28769.5)     		ty = 28769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 12456 / 28769 ti = "16/12456/28769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/12456/28769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12456 ÷ 216
    12456 ÷ 65536     		x = 0.1900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28769 ÷ 216
    28769 ÷ 65536     		y = 0.438980102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.94738861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    0.122039794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.383399323161209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94738861} λ = -1.94738861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.383399323161209))-π/2
    2×atan(1.4672638255289)-π/2
    2×0.972566888052588-π/2
    1.94513377610518-1.57079632675     		φ = 0.37433745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94738861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37433745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.447956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12456 KachelY 28769 -1.94738861 0.37433745 -111.577148 21.447956
    Oben rechts KachelX + 1 12457 KachelY 28769 -1.94729274 0.37433745 -111.571655 21.447956
    Unten links KachelX 12456 KachelY + 1 28770 -1.94738861 0.37424821 -111.577148 21.442843
    Unten rechts KachelX + 1 12457 KachelY + 1 28770 -1.94729274 0.37424821 -111.571655 21.442843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37433745-0.37424821) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dl = 568.548039999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37433745-0.37424821) × R
    8.92399999999904e-05 × 6371000     		dr = 568.548039999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94738861--1.94729274) × cos(0.37433745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930750091525083 × 6371000     		do = 568.490772829889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94738861--1.94729274) × cos(0.37424821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.930782718955064 × 6371000     		du = 568.510701265088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37433745)-sin(0.37424821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930750091525083-0.930782718955064)×R²
    abs(-1.94729274--1.94738861)×3.26274299805585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.26274299805585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.26274299805585e-05×40589641000000     		ar = 323219.980001387m²