Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12456 / 14552
↖ ↑ ↗
← N 19.725342°
W 43.154297°		 ← 1 149.96 m → N 19.725342°
W 43.143311°		 →
↑
1 149.97 m
↓
↑
1 149.97 m
↓
N 19.715000°
W 43.154297°		 ← 1 150.03 m →
1 322 451 m²		 N 19.715000°
W 43.143311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380142211914062 y=0.444107055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380142211914062 × 215)
    floor (0.380142211914062 × 32768)
    floor (12456.5)     		tx = 12456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444107055664062 × 215)
    floor (0.444107055664062 × 32768)
    floor (14552.5)     		ty = 14552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12456 / 14552 ti = "15/12456/14552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12456/14552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12456 ÷ 215
    12456 ÷ 32768     		x = 0.380126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14552 ÷ 215
    14552 ÷ 32768     		y = 0.444091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380126953125 × 2 - 1) × π
    -0.23974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75318457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    0.11181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.351281600415771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75318457} λ = -0.75318457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351281600415771))-π/2
    2×atan(1.42088739206052)-π/2
    2×0.957534247548398-π/2
    1.9150684950968-1.57079632675     		φ = 0.34427217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75318457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.154297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34427217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.725342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12456 KachelY 14552 -0.75318457 0.34427217 -43.154297 19.725342
    Oben rechts KachelX + 1 12457 KachelY 14552 -0.75299282 0.34427217 -43.143311 19.725342
    Unten links KachelX 12456 KachelY + 1 14553 -0.75318457 0.34409167 -43.154297 19.715000
    Unten rechts KachelX + 1 12457 KachelY + 1 14553 -0.75299282 0.34409167 -43.143311 19.715000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34427217-0.34409167) × R
    0.000180499999999972 × 6371000     		dl = 1149.96549999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34427217-0.34409167) × R
    0.000180499999999972 × 6371000     		dr = 1149.96549999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75318457--0.75299282) × cos(0.34427217) × R
    0.000191750000000046 × 0.94132135301138 × 6371000     		do = 1149.95511170208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75318457--0.75299282) × cos(0.34409167) × R
    0.000191750000000046 × 0.941382258528691 × 6371000     		du = 1150.02951627257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34427217)-sin(0.34409167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94132135301138-0.941382258528691)×R²
    abs(-0.75299282--0.75318457)×6.09055173101947e-05×R²
    0.000191750000000046×6.09055173101947e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.09055173101947e-05×40589641000000     		ar = 1322451.48994111m²