Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12455 / 12594
↖ ↑ ↗
← S 69.052858°
E 93.669433°		 ← 873.49 m → S 69.052858°
E 93.691406°		 →
↑
873.34 m
↓
↑
873.34 m
↓
S 69.060712°
E 93.669433°		 ← 873.18 m →
762 713 m²		 S 69.060712°
E 93.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760223388671875 y=0.768707275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760223388671875 × 214)
    floor (0.760223388671875 × 16384)
    floor (12455.5)     		tx = 12455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768707275390625 × 214)
    floor (0.768707275390625 × 16384)
    floor (12594.5)     		ty = 12594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12455 / 12594 ti = "14/12455/12594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12455/12594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12455 ÷ 214
    12455 ÷ 16384     		x = 0.76019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12594 ÷ 214
    12594 ÷ 16384     		y = 0.7686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76019287109375 × 2 - 1) × π
    0.5203857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63484002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6881458570199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63484002} λ = 1.63484002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6881458570199))-π/2
    2×atan(0.184861966944084)-π/2
    2×0.182798297731034-π/2
    0.365596595462068-1.57079632675     		φ = -1.20519973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63484002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.669433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20519973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.052858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12455 KachelY 12594 1.63484002 -1.20519973 93.669433 -69.052858
    Oben rechts KachelX + 1 12456 KachelY 12594 1.63522352 -1.20519973 93.691406 -69.052858
    Unten links KachelX 12455 KachelY + 1 12595 1.63484002 -1.20533681 93.669433 -69.060712
    Unten rechts KachelX + 1 12456 KachelY + 1 12595 1.63522352 -1.20533681 93.691406 -69.060712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20519973--1.20533681) × R
    0.000137080000000012 × 6371000     		dl = 873.336680000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20519973--1.20533681) × R
    0.000137080000000012 × 6371000     		dr = 873.336680000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63484002-1.63522352) × cos(-1.20519973) × R
    0.000383500000000092 × 0.357506526161724 × 6371000     		do = 873.488008980839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63484002-1.63522352) × cos(-1.20533681) × R
    0.000383500000000092 × 0.357378502332637 × 6371000     		du = 873.175211111741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20519973)-sin(-1.20533681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357506526161724-0.357378502332637)×R²
    abs(1.63522352-1.63484002)×0.000128023829087776×R²
    0.000383500000000092×0.000128023829087776×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128023829087776×40589641000000     		ar = 762712.530051735m²