Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124543 / 27012
↖ ↑ ↗
← N 72.070530°
E162.067566°		 ← 94 m → N 72.070530°
E162.070312°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.069684°
E162.067566°		 ← 94.01 m →
8 840 m²		 N 72.069684°
E162.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950191497802734 y=0.206089019775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950191497802734 × 217)
    floor (0.950191497802734 × 131072)
    floor (124543.5)     		tx = 124543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206089019775391 × 217)
    floor (0.206089019775391 × 131072)
    floor (27012.5)     		ty = 27012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124543 / 27012 ti = "17/124543/27012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124543/27012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124543 ÷ 217
    124543 ÷ 131072     		x = 0.950187683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27012 ÷ 217
    27012 ÷ 131072     		y = 0.206085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950187683105469 × 2 - 1) × π
    0.900375366210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.82861264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206085205078125 × 2 - 1) × π
    0.58782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84672112096304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82861264} λ = 2.82861264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84672112096304))-π/2
    2×atan(6.33900059371719)-π/2
    2×1.41433218184268-π/2
    2.82866436368536-1.57079632675     		φ = 1.25786804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82861264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.067566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25786804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.070530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124543 KachelY 27012 2.82861264 1.25786804 162.067566 72.070530
    Oben rechts KachelX + 1 124544 KachelY 27012 2.82866057 1.25786804 162.070312 72.070530
    Unten links KachelX 124543 KachelY + 1 27013 2.82861264 1.25785328 162.067566 72.069684
    Unten rechts KachelX + 1 124544 KachelY + 1 27013 2.82866057 1.25785328 162.070312 72.069684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25786804-1.25785328) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25786804-1.25785328) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82861264-2.82866057) × cos(1.25786804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307846030357859 × 6371000     		do = 94.0044887575751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82861264-2.82866057) × cos(1.25785328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.307860073522474 × 6371000     		du = 94.0087770068295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25786804)-sin(1.25785328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307846030357859-0.307860073522474)×R²
    abs(2.82866057-2.82861264)×1.40431646147299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40431646147299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40431646147299e-05×40589641000000     		ar = 8840.00396947205m²