Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124542 / 27016
↖ ↑ ↗
← N 72.067147°
E162.064819°		 ← 94.04 m → N 72.067147°
E162.067566°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.066301°
E162.064819°		 ← 94.05 m →
8 843 m²		 N 72.066301°
E162.067566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950183868408203 y=0.206119537353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950183868408203 × 217)
    floor (0.950183868408203 × 131072)
    floor (124542.5)     		tx = 124542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206119537353516 × 217)
    floor (0.206119537353516 × 131072)
    floor (27016.5)     		ty = 27016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124542 / 27016 ti = "17/124542/27016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124542/27016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124542 ÷ 217
    124542 ÷ 131072     		x = 0.950180053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27016 ÷ 217
    27016 ÷ 131072     		y = 0.20611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950180053710938 × 2 - 1) × π
    0.900360107421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82856470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20611572265625 × 2 - 1) × π
    0.5877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84652937336456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82856470} λ = 2.82856470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84652937336456))-π/2
    2×atan(6.3377852221026)-π/2
    2×1.4143026647815-π/2
    2.828605329563-1.57079632675     		φ = 1.25780900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82856470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.064819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25780900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.067147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124542 KachelY 27016 2.82856470 1.25780900 162.064819 72.067147
    Oben rechts KachelX + 1 124543 KachelY 27016 2.82861264 1.25780900 162.067566 72.067147
    Unten links KachelX 124542 KachelY + 1 27017 2.82856470 1.25779424 162.064819 72.066301
    Unten rechts KachelX + 1 124543 KachelY + 1 27017 2.82861264 1.25779424 162.067566 72.066301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25780900-1.25779424) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25780900-1.25779424) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82856470-2.82861264) × cos(1.25780900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307902202613888 × 6371000     		do = 94.041258080915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82856470-2.82861264) × cos(1.25779424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307916245510206 × 6371000     		du = 94.0455471429146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25780900)-sin(1.25779424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307902202613888-0.307916245510206)×R²
    abs(2.82861264-2.82856470)×1.40428963177341e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40428963177341e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40428963177341e-05×40589641000000     		ar = 8843.46164639602m²