Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124541 / 27029
↖ ↑ ↗
← N 72.056150°
E162.062073°		 ← 94.10 m → N 72.056150°
E162.064819°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.055304°
E162.062073°		 ← 94.10 m →
8 855 m²		 N 72.055304°
E162.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950176239013672 y=0.206218719482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950176239013672 × 217)
    floor (0.950176239013672 × 131072)
    floor (124541.5)     		tx = 124541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206218719482422 × 217)
    floor (0.206218719482422 × 131072)
    floor (27029.5)     		ty = 27029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124541 / 27029 ti = "17/124541/27029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124541/27029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124541 ÷ 217
    124541 ÷ 131072     		x = 0.950172424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27029 ÷ 217
    27029 ÷ 131072     		y = 0.206214904785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950172424316406 × 2 - 1) × π
    0.900344848632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.82851676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206214904785156 × 2 - 1) × π
    0.587570190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.8459061936695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82851676} λ = 2.82851676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8459061936695))-π/2
    2×atan(6.33383687343367)-π/2
    2×1.41420669713554-π/2
    2.82841339427107-1.57079632675     		φ = 1.25761707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82851676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.062073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25761707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.056150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124541 KachelY 27029 2.82851676 1.25761707 162.062073 72.056150
    Oben rechts KachelX + 1 124542 KachelY 27029 2.82856470 1.25761707 162.064819 72.056150
    Unten links KachelX 124541 KachelY + 1 27030 2.82851676 1.25760230 162.062073 72.055304
    Unten rechts KachelX + 1 124542 KachelY + 1 27030 2.82856470 1.25760230 162.064819 72.055304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25761707-1.25760230) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25761707-1.25760230) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82851676-2.82856470) × cos(1.25761707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308084802600701 × 6371000     		do = 94.0970288170113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82851676-2.82856470) × cos(1.25760230) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308098854138031 × 6371000     		du = 94.1013205181986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25761707)-sin(1.25760230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308084802600701-0.308098854138031)×R²
    abs(2.82856470-2.82851676)×1.40515373305283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40515373305283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40515373305283e-05×40589641000000     		ar = 8854.70128366191m²