Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124538 / 27023
↖ ↑ ↗
← N 72.061227°
E162.053833°		 ← 94.07 m → N 72.061227°
E162.056580°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 72.060381°
E162.053833°		 ← 94.08 m →
8 852 m²		 N 72.060381°
E162.056580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950153350830078 y=0.206172943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950153350830078 × 217)
    floor (0.950153350830078 × 131072)
    floor (124538.5)     		tx = 124538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206172943115234 × 217)
    floor (0.206172943115234 × 131072)
    floor (27023.5)     		ty = 27023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124538 / 27023 ti = "17/124538/27023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124538/27023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124538 ÷ 217
    124538 ÷ 131072     		x = 0.950149536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27023 ÷ 217
    27023 ÷ 131072     		y = 0.206169128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950149536132812 × 2 - 1) × π
    0.900299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82837295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206169128417969 × 2 - 1) × π
    0.587661743164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84619381506722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82837295} λ = 2.82837295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84619381506722))-π/2
    2×atan(6.33565888245997)-π/2
    2×1.41425099696541-π/2
    2.82850199393082-1.57079632675     		φ = 1.25770567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82837295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.053833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25770567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.061227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124538 KachelY 27023 2.82837295 1.25770567 162.053833 72.061227
    Oben rechts KachelX + 1 124539 KachelY 27023 2.82842089 1.25770567 162.056580 72.061227
    Unten links KachelX 124538 KachelY + 1 27024 2.82837295 1.25769090 162.053833 72.060381
    Unten rechts KachelX + 1 124539 KachelY + 1 27024 2.82842089 1.25769090 162.056580 72.060381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25770567-1.25769090) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25770567-1.25769090) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82837295-2.82842089) × cos(1.25770567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308000510993147 × 6371000     		do = 94.0712839903984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82837295-2.82842089) × cos(1.25769090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308014562933598 × 6371000     		du = 94.0755758147091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25770567)-sin(1.25769090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308000510993147-0.308014562933598)×R²
    abs(2.82842089-2.82837295)×1.40519404511208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40519404511208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40519404511208e-05×40589641000000     		ar = 8852.27870967048m²