Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124536 / 27102
↖ ↑ ↗
← N 71.994276°
E162.048340°		 ← 94.39 m → N 71.994276°
E162.051086°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.993427°
E162.048340°		 ← 94.40 m →
8 912 m²		 N 71.993427°
E162.051086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950138092041016 y=0.206775665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950138092041016 × 217)
    floor (0.950138092041016 × 131072)
    floor (124536.5)     		tx = 124536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206775665283203 × 217)
    floor (0.206775665283203 × 131072)
    floor (27102.5)     		ty = 27102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124536 / 27102 ti = "17/124536/27102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124536/27102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124536 ÷ 217
    124536 ÷ 131072     		x = 0.95013427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27102 ÷ 217
    27102 ÷ 131072     		y = 0.206771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.95013427734375 × 2 - 1) × π
    0.9002685546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82827708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206771850585938 × 2 - 1) × π
    0.586456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84240679999724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82827708} λ = 2.82827708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84240679999724))-π/2
    2×atan(6.31171102087083)-π/2
    2×1.41366674392984-π/2
    2.82733348785969-1.57079632675     		φ = 1.25653716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82827708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.048340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25653716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.994276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124536 KachelY 27102 2.82827708 1.25653716 162.048340 71.994276
    Oben rechts KachelX + 1 124537 KachelY 27102 2.82832501 1.25653716 162.051086 71.994276
    Unten links KachelX 124536 KachelY + 1 27103 2.82827708 1.25652234 162.048340 71.993427
    Unten rechts KachelX + 1 124537 KachelY + 1 27103 2.82832501 1.25652234 162.051086 71.993427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25653716-1.25652234) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25653716-1.25652234) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82827708-2.82832501) × cos(1.25653716) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309112004744365 × 6371000     		do = 94.3910692661668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82827708-2.82832501) × cos(1.25652234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309126098910408 × 6371000     		du = 94.3953730893209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25653716)-sin(1.25652234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309112004744365-0.309126098910408)×R²
    abs(2.82832501-2.82827708)×1.40941660431992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40941660431992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40941660431992e-05×40589641000000     		ar = 8912.43992368962m²