Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124535 / 27095
↖ ↑ ↗
← N 72.000218°
E162.045593°		 ← 94.38 m → N 72.000218°
E162.048340°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 71.999370°
E162.045593°		 ← 94.38 m →
8 905 m²		 N 71.999370°
E162.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950130462646484 y=0.206722259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950130462646484 × 217)
    floor (0.950130462646484 × 131072)
    floor (124535.5)     		tx = 124535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206722259521484 × 217)
    floor (0.206722259521484 × 131072)
    floor (27095.5)     		ty = 27095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124535 / 27095 ti = "17/124535/27095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124535/27095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124535 ÷ 217
    124535 ÷ 131072     		x = 0.950126647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27095 ÷ 217
    27095 ÷ 131072     		y = 0.206718444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950126647949219 × 2 - 1) × π
    0.900253295898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.82822914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206718444824219 × 2 - 1) × π
    0.586563110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.84274235829458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82822914} λ = 2.82822914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84274235829458))-π/2
    2×atan(6.31382932326139)-π/2
    2×1.41371859820415-π/2
    2.82743719640831-1.57079632675     		φ = 1.25664087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82822914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.045593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25664087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.000218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124535 KachelY 27095 2.82822914 1.25664087 162.045593 72.000218
    Oben rechts KachelX + 1 124536 KachelY 27095 2.82827708 1.25664087 162.048340 72.000218
    Unten links KachelX 124535 KachelY + 1 27096 2.82822914 1.25662606 162.045593 71.999370
    Unten rechts KachelX + 1 124536 KachelY + 1 27096 2.82827708 1.25662606 162.048340 71.999370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25664087-1.25662606) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dl = 94.3545099994949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25664087-1.25662606) × R
    1.48099999999207e-05 × 6371000     		dr = 94.3545099994949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82822914-2.82827708) × cos(1.25664087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309013372213018 × 6371000     		do = 94.3806378779945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82822914-2.82827708) × cos(1.25662606) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309027457343564 × 6371000     		du = 94.3849398394147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25664087)-sin(1.25662606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309013372213018-0.309027457343564)×R²
    abs(2.82827708-2.82822914)×1.40851305467926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40851305467926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40851305467926e-05×40589641000000     		ar = 8905.44179521373m²