Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124534 / 27019
↖ ↑ ↗
← N 72.064610°
E162.042846°		 ← 94.05 m → N 72.064610°
E162.045593°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.063764°
E162.042846°		 ← 94.06 m →
8 845 m²		 N 72.063764°
E162.045593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950122833251953 y=0.206142425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950122833251953 × 217)
    floor (0.950122833251953 × 131072)
    floor (124534.5)     		tx = 124534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206142425537109 × 217)
    floor (0.206142425537109 × 131072)
    floor (27019.5)     		ty = 27019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124534 / 27019 ti = "17/124534/27019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124534/27019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124534 ÷ 217
    124534 ÷ 131072     		x = 0.950119018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27019 ÷ 217
    27019 ÷ 131072     		y = 0.206138610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950119018554688 × 2 - 1) × π
    0.900238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82818120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206138610839844 × 2 - 1) × π
    0.587722778320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.8463855626657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82818120} λ = 2.82818120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8463855626657))-π/2
    2×atan(6.33687384631495)-π/2
    2×1.41428052345153-π/2
    2.82856104690306-1.57079632675     		φ = 1.25776472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82818120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.042846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25776472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.064610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124534 KachelY 27019 2.82818120 1.25776472 162.042846 72.064610
    Oben rechts KachelX + 1 124535 KachelY 27019 2.82822914 1.25776472 162.045593 72.064610
    Unten links KachelX 124534 KachelY + 1 27020 2.82818120 1.25774996 162.042846 72.063764
    Unten rechts KachelX + 1 124535 KachelY + 1 27020 2.82822914 1.25774996 162.045593 72.063764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25776472-1.25774996) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25776472-1.25774996) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82818120-2.82822914) × cos(1.25776472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307944331101592 × 6371000     		do = 94.0541252054472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82818120-2.82822914) × cos(1.25774996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307958373796655 × 6371000     		du = 94.0584142059784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25776472)-sin(1.25774996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307944331101592-0.307958373796655)×R²
    abs(2.82822914-2.82818120)×1.40426950628325e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40426950628325e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40426950628325e-05×40589641000000     		ar = 8844.67161601227m²