Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12453 / 14563
↖ ↑ ↗
← N 19.611544°
W 43.187256°		 ← 1 150.77 m → N 19.611544°
W 43.176269°		 →
↑
1 150.79 m
↓
↑
1 150.79 m
↓
N 19.601194°
W 43.187256°		 ← 1 150.85 m →
1 324 344 m²		 N 19.601194°
W 43.176269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380050659179688 y=0.444442749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380050659179688 × 215)
    floor (0.380050659179688 × 32768)
    floor (12453.5)     		tx = 12453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444442749023438 × 215)
    floor (0.444442749023438 × 32768)
    floor (14563.5)     		ty = 14563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12453 / 14563 ti = "15/12453/14563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12453/14563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12453 ÷ 215
    12453 ÷ 32768     		x = 0.380035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14563 ÷ 215
    14563 ÷ 32768     		y = 0.444427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380035400390625 × 2 - 1) × π
    -0.23992919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75375981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444427490234375 × 2 - 1) × π
    0.11114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.349172376832489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75375981} λ = -0.75375981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349172376832489))-π/2
    2×atan(1.41789358128206)-π/2
    2×0.956541166162579-π/2
    1.91308233232516-1.57079632675     		φ = 0.34228601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75375981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.187256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34228601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.611544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12453 KachelY 14563 -0.75375981 0.34228601 -43.187256 19.611544
    Oben rechts KachelX + 1 12454 KachelY 14563 -0.75356806 0.34228601 -43.176269 19.611544
    Unten links KachelX 12453 KachelY + 1 14564 -0.75375981 0.34210538 -43.187256 19.601194
    Unten rechts KachelX + 1 12454 KachelY + 1 14564 -0.75356806 0.34210538 -43.176269 19.601194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34228601-0.34210538) × R
    0.000180629999999959 × 6371000     		dl = 1150.79372999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34228601-0.34210538) × R
    0.000180629999999959 × 6371000     		dr = 1150.79372999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75375981--0.75356806) × cos(0.34228601) × R
    0.000191750000000046 × 0.941989848022573 × 6371000     		do = 1150.77177144619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75375981--0.75356806) × cos(0.34210538) × R
    0.000191750000000046 × 0.942050459554847 × 6371000     		du = 1150.84581687301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34228601)-sin(0.34210538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941989848022573-0.942050459554847)×R²
    abs(-0.75356806--0.75375981)×6.06115322732137e-05×R²
    0.000191750000000046×6.06115322732137e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.06115322732137e-05×40589641000000     		ar = 1324343.54834814m²