Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124524 / 27020
↖ ↑ ↗
← N 72.063764°
E162.015381°		 ← 94.06 m → N 72.063764°
E162.018127°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.062919°
E162.015381°		 ← 94.06 m →
8 845 m²		 N 72.062919°
E162.018127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950046539306641 y=0.206150054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950046539306641 × 217)
    floor (0.950046539306641 × 131072)
    floor (124524.5)     		tx = 124524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206150054931641 × 217)
    floor (0.206150054931641 × 131072)
    floor (27020.5)     		ty = 27020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124524 / 27020 ti = "17/124524/27020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124524/27020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124524 ÷ 217
    124524 ÷ 131072     		x = 0.950042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27020 ÷ 217
    27020 ÷ 131072     		y = 0.206146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950042724609375 × 2 - 1) × π
    0.90008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82770183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206146240234375 × 2 - 1) × π
    0.58770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84633762576608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82770183} λ = 2.82770183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84633762576608))-π/2
    2×atan(6.33657008351026)-π/2
    2×1.41427314233497-π/2
    2.82854628466995-1.57079632675     		φ = 1.25774996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82770183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25774996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.063764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124524 KachelY 27020 2.82770183 1.25774996 162.015381 72.063764
    Oben rechts KachelX + 1 124525 KachelY 27020 2.82774977 1.25774996 162.018127 72.063764
    Unten links KachelX 124524 KachelY + 1 27021 2.82770183 1.25773520 162.015381 72.062919
    Unten rechts KachelX + 1 124525 KachelY + 1 27021 2.82774977 1.25773520 162.018127 72.062919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25774996-1.25773520) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25774996-1.25773520) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82770183-2.82774977) × cos(1.25774996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307958373796655 × 6371000     		do = 94.0584142059784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82770183-2.82774977) × cos(1.25773520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307972416424627 × 6371000     		du = 94.0627031860182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25774996)-sin(1.25773520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307958373796655-0.307972416424627)×R²
    abs(2.82774977-2.82770183)×1.40426279717776e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40426279717776e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40426279717776e-05×40589641000000     		ar = 8845.07493525705m²