Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 124522 / 27106
↖ ↑ ↗
← N 71.990880°
E162.009888°		 ← 94.43 m → N 71.990880°
E162.012634°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.990030°
E162.009888°		 ← 94.43 m →
8 916 m²		 N 71.990030°
E162.012634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950031280517578 y=0.206806182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950031280517578 × 217)
    floor (0.950031280517578 × 131072)
    floor (124522.5)     		tx = 124522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206806182861328 × 217)
    floor (0.206806182861328 × 131072)
    floor (27106.5)     		ty = 27106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124522 / 27106 ti = "17/124522/27106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124522/27106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124522 ÷ 217
    124522 ÷ 131072     		x = 0.950027465820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27106 ÷ 217
    27106 ÷ 131072     		y = 0.206802368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950027465820312 × 2 - 1) × π
    0.900054931640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82760596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206802368164062 × 2 - 1) × π
    0.586395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84221505239876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82760596} λ = 2.82760596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84221505239876))-π/2
    2×atan(6.31050088146465)-π/2
    2×1.41363710548537-π/2
    2.82727421097074-1.57079632675     		φ = 1.25647788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82760596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.009888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25647788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.990880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124522 KachelY 27106 2.82760596 1.25647788 162.009888 71.990880
    Oben rechts KachelX + 1 124523 KachelY 27106 2.82765390 1.25647788 162.012634 71.990880
    Unten links KachelX 124522 KachelY + 1 27107 2.82760596 1.25646306 162.009888 71.990030
    Unten rechts KachelX + 1 124523 KachelY + 1 27107 2.82765390 1.25646306 162.012634 71.990030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25647788-1.25646306) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dl = 94.4182200005224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25647788-1.25646306) × R
    1.4820000000082e-05 × 6371000     		dr = 94.4182200005224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82760596-2.82765390) × cos(1.25647788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.309168381001161 × 6371000     		do = 94.4279815518197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82760596-2.82765390) × cos(1.25646306) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30918247489561 × 6371000     		du = 94.4322861899611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25647788)-sin(1.25646306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309168381001161-0.30918247489561)×R²
    abs(2.82765390-2.82760596)×1.4093894448397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4093894448397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4093894448397e-05×40589641000000     		ar = 8915.92515469796m²