Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12452 / 14565
↖ ↑ ↗
← N 19.590844°
W 43.198242°		 ← 1 150.92 m → N 19.590844°
W 43.187256°		 →
↑
1 150.92 m
↓
↑
1 150.92 m
↓
N 19.580493°
W 43.198242°		 ← 1 150.99 m →
1 324 661 m²		 N 19.580493°
W 43.187256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380020141601562 y=0.444503784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380020141601562 × 215)
    floor (0.380020141601562 × 32768)
    floor (12452.5)     		tx = 12452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444503784179688 × 215)
    floor (0.444503784179688 × 32768)
    floor (14565.5)     		ty = 14565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12452 / 14565 ti = "15/12452/14565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12452/14565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12452 ÷ 215
    12452 ÷ 32768     		x = 0.3800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14565 ÷ 215
    14565 ÷ 32768     		y = 0.444488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75395156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444488525390625 × 2 - 1) × π
    0.11102294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.348788881635529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75395156} λ = -0.75395156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348788881635529))-π/2
    2×atan(1.4173499301543)-π/2
    2×0.956360530249876-π/2
    1.91272106049975-1.57079632675     		φ = 0.34192473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75395156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34192473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.590844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12452 KachelY 14565 -0.75395156 0.34192473 -43.198242 19.590844
    Oben rechts KachelX + 1 12453 KachelY 14565 -0.75375981 0.34192473 -43.187256 19.590844
    Unten links KachelX 12452 KachelY + 1 14566 -0.75395156 0.34174408 -43.198242 19.580493
    Unten rechts KachelX + 1 12453 KachelY + 1 14566 -0.75375981 0.34174408 -43.187256 19.580493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34192473-0.34174408) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dl = 1150.92115000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34192473-0.34174408) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dr = 1150.92115000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75395156--0.75375981) × cos(0.34192473) × R
    0.000191749999999935 × 0.942111047056675 × 6371000     		do = 1150.91983294264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75395156--0.75375981) × cos(0.34174408) × R
    0.000191749999999935 × 0.942171603813253 × 6371000     		du = 1150.99381145333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34192473)-sin(0.34174408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942111047056675-0.942171603813253)×R²
    abs(-0.75375981--0.75395156)×6.05567565782339e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05567565782339e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05567565782339e-05×40589641000000     		ar = 1324660.55300674m²