Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12452 / 14564
↖ ↑ ↗
← N 19.601194°
W 43.198242°		 ← 1 150.85 m → N 19.601194°
W 43.187256°		 →
↑
1 150.92 m
↓
↑
1 150.92 m
↓
N 19.590844°
W 43.198242°		 ← 1 150.92 m →
1 324 575 m²		 N 19.590844°
W 43.187256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.380020141601562 y=0.444473266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.380020141601562 × 215)
    floor (0.380020141601562 × 32768)
    floor (12452.5)     		tx = 12452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444473266601562 × 215)
    floor (0.444473266601562 × 32768)
    floor (14564.5)     		ty = 14564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12452 / 14564 ti = "15/12452/14564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12452/14564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12452 ÷ 215
    12452 ÷ 32768     		x = 0.3800048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14564 ÷ 215
    14564 ÷ 32768     		y = 0.4444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.239990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75395156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    0.111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348980629234009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75395156} λ = -0.75395156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348980629234009))-π/2
    2×atan(1.41762172965723)-π/2
    2×0.956450851111115-π/2
    1.91290170222223-1.57079632675     		φ = 0.34210538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75395156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.198242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34210538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.601194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12452 KachelY 14564 -0.75395156 0.34210538 -43.198242 19.601194
    Oben rechts KachelX + 1 12453 KachelY 14564 -0.75375981 0.34210538 -43.187256 19.601194
    Unten links KachelX 12452 KachelY + 1 14565 -0.75395156 0.34192473 -43.198242 19.590844
    Unten rechts KachelX + 1 12453 KachelY + 1 14565 -0.75375981 0.34192473 -43.187256 19.590844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34210538-0.34192473) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dl = 1150.92115000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34210538-0.34192473) × R
    0.000180650000000004 × 6371000     		dr = 1150.92115000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75395156--0.75375981) × cos(0.34210538) × R
    0.000191749999999935 × 0.942050459554847 × 6371000     		do = 1150.84581687235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75395156--0.75375981) × cos(0.34192473) × R
    0.000191749999999935 × 0.942111047056675 × 6371000     		du = 1150.91983294264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34210538)-sin(0.34192473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942050459554847-0.942111047056675)×R²
    abs(-0.75375981--0.75395156)×6.05875018280244e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05875018280244e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05875018280244e-05×40589641000000     		ar = 1324575.38796013m²