Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12452 / 12587
↖ ↑ ↗
← S 68.997801°
E 93.603516°		 ← 875.66 m → S 68.997801°
E 93.625488°		 →
↑
875.50 m
↓
↑
875.50 m
↓
S 69.005675°
E 93.603516°		 ← 875.34 m →
766 503 m²		 S 69.005675°
E 93.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760040283203125 y=0.768280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760040283203125 × 214)
    floor (0.760040283203125 × 16384)
    floor (12452.5)     		tx = 12452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768280029296875 × 214)
    floor (0.768280029296875 × 16384)
    floor (12587.5)     		ty = 12587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12452 / 12587 ti = "14/12452/12587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12452/12587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12452 ÷ 214
    12452 ÷ 16384     		x = 0.760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12587 ÷ 214
    12587 ÷ 16384     		y = 0.76824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760009765625 × 2 - 1) × π
    0.52001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63368954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.5364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68546139064117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63368954} λ = 1.63368954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68546139064117))-π/2
    2×atan(0.185358889366401)-π/2
    2×0.1832787567966-π/2
    0.366557513593199-1.57079632675     		φ = -1.20423881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63368954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.603516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20423881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.997801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12452 KachelY 12587 1.63368954 -1.20423881 93.603516 -68.997801
    Oben rechts KachelX + 1 12453 KachelY 12587 1.63407303 -1.20423881 93.625488 -68.997801
    Unten links KachelX 12452 KachelY + 1 12588 1.63368954 -1.20437623 93.603516 -69.005675
    Unten rechts KachelX + 1 12453 KachelY + 1 12588 1.63407303 -1.20437623 93.625488 -69.005675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20423881--1.20437623) × R
    0.000137419999999944 × 6371000     		dl = 875.502819999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20423881--1.20437623) × R
    0.000137419999999944 × 6371000     		dr = 875.502819999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63368954-1.63407303) × cos(-1.20423881) × R
    0.000383489999999931 × 0.358403774381037 × 6371000     		do = 875.657402359415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63368954-1.63407303) × cos(-1.20437623) × R
    0.000383489999999931 × 0.358275480265027 × 6371000     		du = 875.34395227771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20423881)-sin(-1.20437623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358403774381037-0.358275480265027)×R²
    abs(1.63407303-1.63368954)×0.000128294116010008×R²
    0.000383489999999931×0.000128294116010008×6371000²
    0.000383489999999931×0.000128294116010008×40589641000000     		ar = 766503.313110224m²