Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124510 / 27088
↖ ↑ ↗
← N 72.006159°
E161.976929°		 ← 94.35 m → N 72.006159°
E161.979676°		 →
↑
94.35 m
↓
↑
94.35 m
↓
N 72.005310°
E161.976929°		 ← 94.35 m →
8 903 m²		 N 72.005310°
E161.979676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949939727783203 y=0.206668853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949939727783203 × 217)
    floor (0.949939727783203 × 131072)
    floor (124510.5)     		tx = 124510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206668853759766 × 217)
    floor (0.206668853759766 × 131072)
    floor (27088.5)     		ty = 27088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124510 / 27088 ti = "17/124510/27088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124510/27088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124510 ÷ 217
    124510 ÷ 131072     		x = 0.949935913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27088 ÷ 217
    27088 ÷ 131072     		y = 0.2066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949935913085938 × 2 - 1) × π
    0.899871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.82703072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2066650390625 × 2 - 1) × π
    0.586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84307791659192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82703072} λ = 2.82703072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84307791659192))-π/2
    2×atan(6.31594833658517)-π/2
    2×1.41377043593258-π/2
    2.82754087186515-1.57079632675     		φ = 1.25674455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82703072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.976929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25674455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.006159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124510 KachelY 27088 2.82703072 1.25674455 161.976929 72.006159
    Oben rechts KachelX + 1 124511 KachelY 27088 2.82707866 1.25674455 161.979676 72.006159
    Unten links KachelX 124510 KachelY + 1 27089 2.82703072 1.25672974 161.976929 72.005310
    Unten rechts KachelX + 1 124511 KachelY + 1 27089 2.82707866 1.25672974 161.979676 72.005310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25674455-1.25672974) × R
    1.48100000001428e-05 × 6371000     		dl = 94.3545100009096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25674455-1.25672974) × R
    1.48100000001428e-05 × 6371000     		dr = 94.3545100009096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82703072-2.82707866) × cos(1.25674455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308914764890687 × 6371000     		do = 94.3505206636023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82703072-2.82707866) × cos(1.25672974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.30892885049566 × 6371000     		du = 94.3548227699243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25674455)-sin(1.25672974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308914764890687-0.30892885049566)×R²
    abs(2.82707866-2.82703072)×1.40856049724025e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40856049724025e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40856049724025e-05×40589641000000     		ar = 8902.60010725015m²