Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12451 / 12581
↖ ↑ ↗
← S 68.950500°
E 93.581543°		 ← 877.56 m → S 68.950500°
E 93.603516°		 →
↑
877.41 m
↓
↑
877.41 m
↓
S 68.958391°
E 93.581543°		 ← 877.25 m →
769 848 m²		 S 68.958391°
E 93.603516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759979248046875 y=0.767913818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759979248046875 × 214)
    floor (0.759979248046875 × 16384)
    floor (12451.5)     		tx = 12451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767913818359375 × 214)
    floor (0.767913818359375 × 16384)
    floor (12581.5)     		ty = 12581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12451 / 12581 ti = "14/12451/12581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12451/12581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12451 ÷ 214
    12451 ÷ 16384     		x = 0.75994873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12581 ÷ 214
    12581 ÷ 16384     		y = 0.76788330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75994873046875 × 2 - 1) × π
    0.5198974609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63330604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.5357666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68316041945941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63330604} λ = 1.63330604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68316041945941))-π/2
    2×atan(0.185785885894076)-π/2
    2×0.183691538315821-π/2
    0.367383076631641-1.57079632675     		φ = -1.20341325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63330604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20341325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.950500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12451 KachelY 12581 1.63330604 -1.20341325 93.581543 -68.950500
    Oben rechts KachelX + 1 12452 KachelY 12581 1.63368954 -1.20341325 93.603516 -68.950500
    Unten links KachelX 12451 KachelY + 1 12582 1.63330604 -1.20355097 93.581543 -68.958391
    Unten rechts KachelX + 1 12452 KachelY + 1 12582 1.63368954 -1.20355097 93.603516 -68.958391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20341325--1.20355097) × R
    0.000137719999999897 × 6371000     		dl = 877.414119999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20341325--1.20355097) × R
    0.000137719999999897 × 6371000     		dr = 877.414119999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63330604-1.63368954) × cos(-1.20341325) × R
    0.000383500000000092 × 0.359174367461832 × 6371000     		do = 877.563009770804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63330604-1.63368954) × cos(-1.20355097) × R
    0.000383500000000092 × 0.359045834046651 × 6371000     		du = 877.248966840962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20341325)-sin(-1.20355097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359174367461832-0.359045834046651)×R²
    abs(1.63368954-1.63330604)×0.000128533415180321×R²
    0.000383500000000092×0.000128533415180321×6371000²
    0.000383500000000092×0.000128533415180321×40589641000000     		ar = 769848.404328772m²