Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124507 / 27111
↖ ↑ ↗
← N 71.986633°
E161.968689°		 ← 94.43 m → N 71.986633°
E161.971435°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 71.985784°
E161.968689°		 ← 94.43 m →
8 916 m²		 N 71.985784°
E161.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949916839599609 y=0.206844329833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949916839599609 × 217)
    floor (0.949916839599609 × 131072)
    floor (124507.5)     		tx = 124507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206844329833984 × 217)
    floor (0.206844329833984 × 131072)
    floor (27111.5)     		ty = 27111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124507 / 27111 ti = "17/124507/27111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124507/27111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124507 ÷ 217
    124507 ÷ 131072     		x = 0.949913024902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27111 ÷ 217
    27111 ÷ 131072     		y = 0.206840515136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949913024902344 × 2 - 1) × π
    0.899826049804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.82688691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206840515136719 × 2 - 1) × π
    0.586318969726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.84197536790066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82688691} λ = 2.82688691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84197536790066))-π/2
    2×atan(6.30898853347853)-π/2
    2×1.41360004982866-π/2
    2.82720009965732-1.57079632675     		φ = 1.25640377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82688691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.968689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25640377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.986633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124507 KachelY 27111 2.82688691 1.25640377 161.968689 71.986633
    Oben rechts KachelX + 1 124508 KachelY 27111 2.82693484 1.25640377 161.971435 71.986633
    Unten links KachelX 124507 KachelY + 1 27112 2.82688691 1.25638895 161.968689 71.985784
    Unten rechts KachelX + 1 124508 KachelY + 1 27112 2.82693484 1.25638895 161.971435 71.985784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25640377-1.25638895) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25640377-1.25638895) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82688691-2.82693484) × cos(1.25640377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.309238859304151 × 6371000     		do = 94.4298058320579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82688691-2.82693484) × cos(1.25638895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30925295285899 × 6371000     		du = 94.4341094685734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25640377)-sin(1.25638895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309238859304151-0.30925295285899)×R²
    abs(2.82693484-2.82688691)×1.40935548390009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40935548390009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40935548390009e-05×40589641000000     		ar = 8916.09735250521m²