Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124505 / 27017
↖ ↑ ↗
← N 72.066301°
E161.963196°		 ← 94.05 m → N 72.066301°
E161.965942°		 →
↑
94.04 m
↓
↑
94.04 m
↓
N 72.065456°
E161.963196°		 ← 94.05 m →
8 844 m²		 N 72.065456°
E161.965942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949901580810547 y=0.206127166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949901580810547 × 217)
    floor (0.949901580810547 × 131072)
    floor (124505.5)     		tx = 124505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206127166748047 × 217)
    floor (0.206127166748047 × 131072)
    floor (27017.5)     		ty = 27017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124505 / 27017 ti = "17/124505/27017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124505/27017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124505 ÷ 217
    124505 ÷ 131072     		x = 0.949897766113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27017 ÷ 217
    27017 ÷ 131072     		y = 0.206123352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949897766113281 × 2 - 1) × π
    0.899795532226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.82679103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206123352050781 × 2 - 1) × π
    0.587753295898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.84648143646494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82679103} λ = 2.82679103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84648143646494))-π/2
    2×atan(6.33748141561043)-π/2
    2×1.41429528467478-π/2
    2.82859056934956-1.57079632675     		φ = 1.25779424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82679103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.963196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25779424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.066301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124505 KachelY 27017 2.82679103 1.25779424 161.963196 72.066301
    Oben rechts KachelX + 1 124506 KachelY 27017 2.82683897 1.25779424 161.965942 72.066301
    Unten links KachelX 124505 KachelY + 1 27018 2.82679103 1.25777948 161.963196 72.065456
    Unten rechts KachelX + 1 124506 KachelY + 1 27018 2.82683897 1.25777948 161.965942 72.065456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25779424-1.25777948) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dl = 94.0359600000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25779424-1.25777948) × R
    1.47600000000025e-05 × 6371000     		dr = 94.0359600000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82679103-2.82683897) × cos(1.25779424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307916245510206 × 6371000     		do = 94.0455471429146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82679103-2.82683897) × cos(1.25777948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.307930288339442 × 6371000     		du = 94.0498361844256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25779424)-sin(1.25777948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307916245510206-0.307930288339442)×R²
    abs(2.82683897-2.82679103)×1.40428292358385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40428292358385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40428292358385e-05×40589641000000     		ar = 8843.86497168977m²