Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124502 / 27087
↖ ↑ ↗
← N 72.007007°
E161.954956°		 ← 94.35 m → N 72.007007°
E161.957703°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.006159°
E161.954956°		 ← 94.35 m →
8 896 m²		 N 72.006159°
E161.957703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949878692626953 y=0.206661224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949878692626953 × 217)
    floor (0.949878692626953 × 131072)
    floor (124502.5)     		tx = 124502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206661224365234 × 217)
    floor (0.206661224365234 × 131072)
    floor (27087.5)     		ty = 27087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124502 / 27087 ti = "17/124502/27087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124502/27087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124502 ÷ 217
    124502 ÷ 131072     		x = 0.949874877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27087 ÷ 217
    27087 ÷ 131072     		y = 0.206657409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949874877929688 × 2 - 1) × π
    0.899749755859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82664722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206657409667969 × 2 - 1) × π
    0.586685180664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.84312585349154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82664722} λ = 2.82664722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84312585349154))-π/2
    2×atan(6.31625111082356)-π/2
    2×1.41377783997194-π/2
    2.82755567994388-1.57079632675     		φ = 1.25675935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82664722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.954956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25675935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.007007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124502 KachelY 27087 2.82664722 1.25675935 161.954956 72.007007
    Oben rechts KachelX + 1 124503 KachelY 27087 2.82669516 1.25675935 161.957703 72.007007
    Unten links KachelX 124502 KachelY + 1 27088 2.82664722 1.25674455 161.954956 72.006159
    Unten rechts KachelX + 1 124503 KachelY + 1 27088 2.82669516 1.25674455 161.957703 72.006159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25675935-1.25674455) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dl = 94.2907999998821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25675935-1.25674455) × R
    1.47999999999815e-05 × 6371000     		dr = 94.2907999998821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82664722-2.82669516) × cos(1.25675935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308900688728902 × 6371000     		do = 94.3462214414726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82664722-2.82669516) × cos(1.25674455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.308914764890687 × 6371000     		du = 94.3505206636023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25675935)-sin(1.25674455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308900688728902-0.308914764890687)×R²
    abs(2.82669516-2.82664722)×1.40761617853924e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40761617853924e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40761617853924e-05×40589641000000     		ar = 8896.18338540635m²