Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 124501 / 27084
↖ ↑ ↗
← N 72.009552°
E161.952210°		 ← 94.31 m → N 72.009552°
E161.954956°		 →
↑
94.29 m
↓
↑
94.29 m
↓
N 72.008704°
E161.952210°		 ← 94.32 m →
8 893 m²		 N 72.008704°
E161.954956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 124501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949871063232422 y=0.206638336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949871063232422 × 217)
    floor (0.949871063232422 × 131072)
    floor (124501.5)     		tx = 124501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206638336181641 × 217)
    floor (0.206638336181641 × 131072)
    floor (27084.5)     		ty = 27084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 124501 / 27084 ti = "17/124501/27084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/124501/27084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 124501 ÷ 217
    124501 ÷ 131072     		x = 0.949867248535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27084 ÷ 217
    27084 ÷ 131072     		y = 0.206634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949867248535156 × 2 - 1) × π
    0.899734497070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.82659929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206634521484375 × 2 - 1) × π
    0.58673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8432696641904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82659929} λ = 2.82659929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8432696641904))-π/2
    2×atan(6.31715952062794)-π/2
    2×1.41380005006473-π/2
    2.82760010012945-1.57079632675     		φ = 1.25680377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82659929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.952210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25680377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.009552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 124501 KachelY 27084 2.82659929 1.25680377 161.952210 72.009552
    Oben rechts KachelX + 1 124502 KachelY 27084 2.82664722 1.25680377 161.954956 72.009552
    Unten links KachelX 124501 KachelY + 1 27085 2.82659929 1.25678897 161.952210 72.008704
    Unten rechts KachelX + 1 124502 KachelY + 1 27085 2.82664722 1.25678897 161.954956 72.008704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25680377-1.25678897) × R
    1.48000000002035e-05 × 6371000     		dl = 94.2908000012967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25680377-1.25678897) × R
    1.48000000002035e-05 × 6371000     		dr = 94.2908000012967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82659929-2.82664722) × cos(1.25680377) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.308858440815428 × 6371000     		do = 94.3136404700916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82659929-2.82664722) × cos(1.25678897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.30887251718028 × 6371000     		du = 94.3179388574381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25680377)-sin(1.25678897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308858440815428-0.30887251718028)×R²
    abs(2.82664722-2.82659929)×1.40763648526221e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40763648526221e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40763648526221e-05×40589641000000     		ar = 8893.11126019628m²