Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12450 / 20858
↖ ↑ ↗
← S 44.040219°
W 43.220215°		 ← 878.18 m → S 44.040219°
W 43.209228°		 →
↑
878.11 m
↓
↑
878.11 m
↓
S 44.048116°
W 43.220215°		 ← 878.06 m →
771 090 m²		 S 44.048116°
W 43.209228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379959106445312 y=0.636550903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379959106445312 × 215)
    floor (0.379959106445312 × 32768)
    floor (12450.5)     		tx = 12450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636550903320312 × 215)
    floor (0.636550903320312 × 32768)
    floor (20858.5)     		ty = 20858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12450 / 20858 ti = "15/12450/20858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12450/20858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12450 ÷ 215
    12450 ÷ 32768     		x = 0.37994384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20858 ÷ 215
    20858 ÷ 32768     		y = 0.63653564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37994384765625 × 2 - 1) × π
    -0.2401123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75433505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63653564453125 × 2 - 1) × π
    -0.2730712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.857878755600525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75433505} λ = -0.75433505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857878755600525))-π/2
    2×atan(0.424060665234981)-π/2
    2×0.401074753484886-π/2
    0.802149506969772-1.57079632675     		φ = -0.76864682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75433505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.220215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76864682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.040219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12450 KachelY 20858 -0.75433505 -0.76864682 -43.220215 -44.040219
    Oben rechts KachelX + 1 12451 KachelY 20858 -0.75414330 -0.76864682 -43.209228 -44.040219
    Unten links KachelX 12450 KachelY + 1 20859 -0.75433505 -0.76878465 -43.220215 -44.048116
    Unten rechts KachelX + 1 12451 KachelY + 1 20859 -0.75414330 -0.76878465 -43.209228 -44.048116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76864682--0.76878465) × R
    0.000137830000000005 × 6371000     		dl = 878.114930000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76864682--0.76878465) × R
    0.000137830000000005 × 6371000     		dr = 878.114930000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75433505--0.75414330) × cos(-0.76864682) × R
    0.000191750000000046 × 0.71885200832405 × 6371000     		do = 878.177828310198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75433505--0.75414330) × cos(-0.76878465) × R
    0.000191750000000046 × 0.71875618716082 × 6371000     		du = 878.060769416215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76864682)-sin(-0.76878465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71885200832405-0.71875618716082)×R²
    abs(-0.75414330--0.75433505)×9.58211632301476e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58211632301476e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58211632301476e-05×40589641000000     		ar = 771089.667873889m²