Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12450 / 12585
↖ ↑ ↗
← S 68.982046°
E 93.559570°		 ← 876.28 m → S 68.982046°
E 93.581543°		 →
↑
876.14 m
↓
↑
876.14 m
↓
S 68.989925°
E 93.559570°		 ← 875.97 m →
767 611 m²		 S 68.989925°
E 93.581543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759918212890625 y=0.768157958984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759918212890625 × 214)
    floor (0.759918212890625 × 16384)
    floor (12450.5)     		tx = 12450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768157958984375 × 214)
    floor (0.768157958984375 × 16384)
    floor (12585.5)     		ty = 12585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12450 / 12585 ti = "14/12450/12585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12450/12585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12450 ÷ 214
    12450 ÷ 16384     		x = 0.7598876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12585 ÷ 214
    12585 ÷ 16384     		y = 0.76812744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7598876953125 × 2 - 1) × π
    0.519775390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63292255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76812744140625 × 2 - 1) × π
    -0.5362548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68469440024725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63292255} λ = 1.63292255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68469440024725))-π/2
    2×atan(0.185501112388847)-π/2
    2×0.183416252139748-π/2
    0.366832504279497-1.57079632675     		φ = -1.20396382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63292255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.559570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20396382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.982046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12450 KachelY 12585 1.63292255 -1.20396382 93.559570 -68.982046
    Oben rechts KachelX + 1 12451 KachelY 12585 1.63330604 -1.20396382 93.581543 -68.982046
    Unten links KachelX 12450 KachelY + 1 12586 1.63292255 -1.20410134 93.559570 -68.989925
    Unten rechts KachelX + 1 12451 KachelY + 1 12586 1.63330604 -1.20410134 93.581543 -68.989925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20396382--1.20410134) × R
    0.000137520000000002 × 6371000     		dl = 876.139920000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20396382--1.20410134) × R
    0.000137520000000002 × 6371000     		dr = 876.139920000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63292255-1.63330604) × cos(-1.20396382) × R
    0.000383489999999931 × 0.358660482326285 × 6371000     		do = 876.284595007954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63292255-1.63330604) × cos(-1.20410134) × R
    0.000383489999999931 × 0.358532108404729 × 6371000     		du = 875.970949944159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20396382)-sin(-1.20410134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358660482326285-0.358532108404729)×R²
    abs(1.63330604-1.63292255)×0.000128373921555902×R²
    0.000383489999999931×0.000128373921555902×6371000²
    0.000383489999999931×0.000128373921555902×40589641000000     		ar = 767610.517695898m²