Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 12449 / 20857
↖ ↑ ↗
← S 44.032321°
W 43.231201°		 ← 878.29 m → S 44.032321°
W 43.220215°		 →
↑
878.24 m
↓
↑
878.24 m
↓
S 44.040219°
W 43.231201°		 ← 878.18 m →
771 304 m²		 S 44.040219°
W 43.220215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379928588867188 y=0.636520385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379928588867188 × 215)
    floor (0.379928588867188 × 32768)
    floor (12449.5)     		tx = 12449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636520385742188 × 215)
    floor (0.636520385742188 × 32768)
    floor (20857.5)     		ty = 20857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12449 / 20857 ti = "15/12449/20857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12449/20857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12449 ÷ 215
    12449 ÷ 32768     		x = 0.379913330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20857 ÷ 215
    20857 ÷ 32768     		y = 0.636505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379913330078125 × 2 - 1) × π
    -0.24017333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.75452680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.636505126953125 × 2 - 1) × π
    -0.27301025390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.857687008002045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75452680} λ = -0.75452680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.857687008002045))-π/2
    2×atan(0.424141985645398)-π/2
    2×0.401143677151327-π/2
    0.802287354302654-1.57079632675     		φ = -0.76850897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75452680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.231201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76850897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.032321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12449 KachelY 20857 -0.75452680 -0.76850897 -43.231201 -44.032321
    Oben rechts KachelX + 1 12450 KachelY 20857 -0.75433505 -0.76850897 -43.220215 -44.032321
    Unten links KachelX 12449 KachelY + 1 20858 -0.75452680 -0.76864682 -43.231201 -44.040219
    Unten rechts KachelX + 1 12450 KachelY + 1 20858 -0.75433505 -0.76864682 -43.220215 -44.040219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76850897--0.76864682) × R
    0.000137849999999995 × 6371000     		dl = 878.242349999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76850897--0.76864682) × R
    0.000137849999999995 × 6371000     		dr = 878.242349999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75452680--0.75433505) × cos(-0.76850897) × R
    0.000191750000000046 × 0.718947829732452 × 6371000     		do = 878.294887503691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75452680--0.75433505) × cos(-0.76864682) × R
    0.000191750000000046 × 0.71885200832405 × 6371000     		du = 878.177828310198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76850897)-sin(-0.76864682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.718947829732452-0.71885200832405)×R²
    abs(-0.75433505--0.75452680)×9.58214084011422e-05×R²
    0.000191750000000046×9.58214084011422e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.58214084011422e-05×40589641000000     		ar = 771304.364044944m²