Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12449 / 12584
↖ ↑ ↗
← S 68.974163°
E 93.537597°		 ← 876.62 m → S 68.974163°
E 93.559570°		 →
↑
876.46 m
↓
↑
876.46 m
↓
S 68.982046°
E 93.537597°		 ← 876.31 m →
768 185 m²		 S 68.982046°
E 93.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.759857177734375 y=0.768096923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.759857177734375 × 214)
    floor (0.759857177734375 × 16384)
    floor (12449.5)     		tx = 12449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768096923828125 × 214)
    floor (0.768096923828125 × 16384)
    floor (12584.5)     		ty = 12584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12449 / 12584 ti = "14/12449/12584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12449/12584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12449 ÷ 214
    12449 ÷ 16384     		x = 0.75982666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12584 ÷ 214
    12584 ÷ 16384     		y = 0.76806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75982666015625 × 2 - 1) × π
    0.5196533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63253905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    -0.5361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68431090505029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63253905} λ = 1.63253905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68431090505029))-π/2
    2×atan(0.185572264816914)-π/2
    2×0.183485036736276-π/2
    0.366970073472551-1.57079632675     		φ = -1.20382625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63253905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.537597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20382625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.974163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12449 KachelY 12584 1.63253905 -1.20382625 93.537597 -68.974163
    Oben rechts KachelX + 1 12450 KachelY 12584 1.63292255 -1.20382625 93.559570 -68.974163
    Unten links KachelX 12449 KachelY + 1 12585 1.63253905 -1.20396382 93.537597 -68.982046
    Unten rechts KachelX + 1 12450 KachelY + 1 12585 1.63292255 -1.20396382 93.559570 -68.982046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20382625--1.20396382) × R
    0.00013756999999992 × 6371000     		dl = 876.458469999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20382625--1.20396382) × R
    0.00013756999999992 × 6371000     		dr = 876.458469999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63253905-1.63292255) × cos(-1.20382625) × R
    0.00038349999999987 × 0.35878889613588 × 6371000     		do = 876.621195967232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63253905-1.63292255) × cos(-1.20396382) × R
    0.00038349999999987 × 0.358660482326285 × 6371000     		du = 876.307445267145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20382625)-sin(-1.20396382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35878889613588-0.358660482326285)×R²
    abs(1.63292255-1.63253905)×0.000128413809595329×R²
    0.00038349999999987×0.000128413809595329×6371000²
    0.00038349999999987×0.000128413809595329×40589641000000     		ar = 768184.578669341m²